高三数学一轮复习 第六章 数列 第四节 数列求和课件 理.ppt

理数课标版 第四节数列求和 1 求数列的前n项和的方法 1 公式法 i 等差数列的前n项和公式sn na1 教材研读 ii 等比数列的前n项和公式当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 2 分组转化法把数列的每一项转化成几项之和 使所求和转化为几个等差 等比数列之和 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差再求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加 倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法求一个数列的前n项和时 可将数列的项合并求解 这种方法称为并项求和 形如an 1 nf n 的类型 可采用两项合并求和 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 2 常见的裂项公式 1 2 3 1 数列 an 的通项公式是an 前n项和为9 则n等于 a 9b 99c 10d 100答案b an sn a1 a2 an 1 令 1 9 得n 99 故选b 考点突破 2 数列 an 的前n项和为sn 若an 则s5等于 a 1b c d 答案b an s5 a1 a2 a5 1 3 设数列 an 是首项为1的等比数列 若是等差数列 则 的值等于 a 2012b 2013c 3018d 3019答案c设数列 an 的公比为q 由等差数列的定义可得 则 解得q 1 则an 1 从而 故 2012 3018 4 数列 an 的前n项和为sn 已知sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则s17 答案9 解析s17 1 2 3 4 5 6 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 17 1 1 1 1 9 5 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则它的前n项和sn 答案2n 1 2 n2 解析sn 21 1 22 3 23 5 2n 2n 1 21 22 2n 1 3 5 2n 1 2n 1 2 n2 考点一分组转化法求和典例1 2016北京 15 13分 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且b2 3 b3 9 a1 b1 a14 b4 1 求 an 的通项公式 2 设cn an bn 求数列 cn 的前n项和 解析 1 等比数列 bn 的公比q 3 1分 所以b1 1 b4 b3q 27 3分 设等差数列 an 的公差为d 因为a1 b1 1 a14 b4 27 所以1 13d 27 即d 2 5分 所以an 2n 1 n n 6分 考点突破 2 由 1 知 an 2n 1 bn 3n 1 因此cn an bn 2n 1 3n 1 8分 从而数列 cn 的前n项和sn 1 3 2n 1 1 3 3n 1 n2 13分 规律总结分组转化求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 若an 且数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 1 1 2016烟台模拟 答案 1解析因为 n 所以 1 2 3 n 1 考点二并项法求和典例2已知数列 an 的前n项和为sn 1 5 9 13 17 21 1 n 1 4n 3 则s15 s22 s31的值是 a 13b 76c 46d 76答案b 解析s15 1 5 9 13 4 13 3 4 14 3 4 15 3 7 4 57 29 s22 1 5 9 13 4 21 3 4 22 3 11 4 44 s31 1 5 9 13 4 29 3 4 30 3 4 31 3 15 4 121 61 s15 s22 s31 29 44 61 76 故选b 规律总结并项求和的解题思路并项求和常见的有首末并项 隔项并项 分段并项 类周期并项 求解时要注意观察通项的结构特点 根据特点采用相应方法求解 2 1若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a10 a 15b 12c 12d 15答案a记bn 3n 2 则数列 bn 是以1为首项 3为公差的等差数列 所以a1 a2 a9 a10 b1 b2 b9 b10 b2 b1 b4 b3 b10 b9 5 3 15 故选a 考点三裂项相消法求和典例3 2015课标 17 12分 sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4sn 3 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和 解析 1 由 2an 4sn 3 可知 2an 1 4sn 1 3 可得 2 an 1 an 4an 1 即2 an 1 an an 1 an an 1 an 由an 0 可得an 1 an 2 又 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 或a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 6分 2 由an 2n 1可知bn 设数列 bn 的前n项和为tn 则tn b1 b2 bn 12分 易错警示利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 有些情况下 裂项时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 3 1已知数列的前四项是 则该数列的前n项和为 答案 解析由题意可知通项an 所以此数列的前n项和sn 变式3 2若本例 2 的条件变为b1 n 2时 bn 1 n 1 求数列 bn 的前n项和tn 解析当n 2时 bn 1 n 1 1 n 1 当n 1时 b1 也满足上式 当n为偶数时 tn 所以tn 1 当n为奇数时 tn 所以tn 1 综上 tn 考点四错位相减法求和典例4 2016山东 18 12分 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 2 令cn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 由题意知 当n 2时 an sn sn 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 11 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 由即可解得b1 4 d 3 所以bn 3n 1 2 由 1 知cn 3 n 1 2n 1 又tn c1 c2 cn 得tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 两式作差 得 tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 3 3n 2n 2 所以tn 3n 2n 2 方法技巧 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确地写出 sn qsn 的表达式 4 1 2017广东广雅中学期中 已知an 0 且ap aq 2p q p q n 成立 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn nan n n 求数列 bn 的前n项和sn 解析 1 对于任意正整数p q都有ap aq 2p q成立 令p q n 可