云南省玉溪一中高三数学上学期期中试题 理（含解析）(1).doc

云南省玉溪一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题，椭圆，参数方程等；【题文】一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 【题文】1已知集合，,则是 ()a b c d【知识点】集合及其运算a1【答案解析】d 由题意得a=x ,b=x则，故选d.【思路点拨】先分别求出a,b再求。【题文】2已知复数满足，则（ ） a b c d【知识点】复数的基本概念与运算l4【答案解析】a 复数z满足（3+4i）z=25，z= 故答案为：a【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出【题文】3下列命题中正确的是( )a若,则b若为真命题,则也为真命题 c“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件d命题“若,则”的否命题为真命题【知识点】命题及其关系a2【答案解析】d 对a选项，p为：xr，x2+x+10，故a错误；对b选项，若pq为真命题，则命题p、q至少一个为真命题；而pq为真命题，则命题p、q都为真命题，故b错误；对c选项，奇函数f（x）的定义域不包括0，则f（0）=0不成立，不满足充分性，故c错误；对d选项，命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的否命题是：“若x2-3x+20，则x1”，又x2-3x+20x1且x2，故d正确故选：d【思路点拨】根据特称命题的否定是全称命题判断a是否正确；根据复合命题真值表判断b的正确性；利用函数是否在0上有定义判断c是否正确；写出命题的否命题，判断真假，可得d是正确的【题文】4公比不为1的等比数列的前项和为，且，成等差数列，若，则 () a b c d【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案解析】a 设数列的公比为q（q1），则-3a1，-a2，a3成等差数列，-3a1+a3=-2a2，a1=1，-3+q2+2q=0，q1，q=-3s4=1-3+9-27=-20故选a【思路点拨】利用-3a1，-a2，a3成等差数列，确定数列的公比，从而可求s4【题文】5若框图所给的程序运行结果为s20，那么判断框中应填入的关于k的条件是() ak9? bk8? ck8? dk8?【知识点】算法与程序框图l1【答案解析】d k=10，s=1，不输出，k的值满足判断框中的条件经过一次循环得到s=11，k=9，此时不输出，k的值满足判断框中的条件再经过一次循环得到s=20，k=8输出，k的值满足判断框中的条件即k=10，k=9满足判断框中的条件；而k=8不满足判断框中的条件所以判断框中的条件是k8故选d【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，由结果中的s的值，判断是否需要输出；得到k取什么值满足条件，取什么值不满足条件；得到判断框中的条件【题文】6函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 （ ）() a(1,3) b(1,2) c(0,3) d(0,2)【知识点】函数与方程b9【答案解析】c 由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）0，解得：0a3，故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：c【思路点拨】由题意可得f（1）f（2）=（0-a）（3-a）0，解不等式求得实数a的取值范围【题文】（7题图）7 如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为（ ） a b c d【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案解析】a 由题意可知，p在主视图中的射影是在c1d1上，ab在主视图中，在平面cdd1c1上的射影是cd，p的射影到cd的距离是正方体的棱长；p在左视图中，的射影是在b1c1上，在左视图中ac在平面bcc1b1三度射影是bc，p的射影到bc的距离是正方体的棱长，所以三棱锥p-abc的主视图与左视图的面积的比值为cd2：cd2=1：1，故选：a【思路点拨】由题意确定p在正视图中的射影到ab在平面cdd1c1上的射影的距离，p的射影在左视图中到ac在平面bcc1b1三度射影的距离，即可求出正视图与左视图的面积的比值【题文】8在平行四边形中，60，为的中点，若，则的长为( ) a b c d 【知识点】平面向量的数量积及应用f3【答案解析】c 如图所示：由题意可得 ,再根据 =1-1abcos60=，求得ab=2，故选：c【思路点拨】 由题意可得 ，再根据 =1-1abcos60= ，从而求得ab的值【题文】9若任取，则点满足的概率为( ) a b c d 【知识点】几何概型k3【答案解析】a 由题意可得，x，y0，1所对应区域为边长为1的正方形，面积为1记“点p（x，y）满足y为事件a，则a包含的区域由确定的区域的面积为s=1-dx=1-=，p（a）=故选：a【思路点拨】确定x，y0，1所对应区域为边长为1的正方形，面积为1，由确定的区域的面积，代入等可能事件的概率公式即可求解【题文】10已知是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线绕原点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为（ ）ab1 cd【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切c5【答案解析】b 由题意可得：xa=cos，yb=sin(+30)xa-yb=cos-sin（+30）=cos-(sin+cos)= cos-sin=cos(+)1xa-yb的最大值为1故选b【思路点拨】由题意可得：xa=cos，yb=sin(+30)可得xa-yb=cos-sin（+30），利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出【题文】11函数y的图象大致是 ()【知识点】导数的应用b12【答案解析】c根据定义域x不等于0排除a,利用导数判断单调性为x0时先增后减排除b,d故选c.【思路点拨】根据定义域和单调性排除即可。【题文】12函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ ）a b c d【知识点】函数的单调性与最值b3【答案解析】a 由f（x）=x3+x，f（x）为奇函数，增函数，f（asin）+f（1-a）0恒成立，即f（asin）f（a-1），asina-1，当0时，sin0，1，解得a1，故实数m的取值范围是（-，1），故选a【思路点拨】由f（x）=x3+x，可知f（x）为奇函数，增函数，得出asina-1，根据sin0，1，即可求解 第卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分【题文】13将名教师，名学生分成个小组，安排到甲、乙两地参加活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有_种.【知识点】排列、组合j2【答案解析】12 第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法,故不同的安排方案共有261=12种,故选 a.【思路点拨】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【题文】14数列的前项和为，若则=_.【知识点】数列的概念与简单表示法d1【答案解析】an=2n-1 数列an的前n项和为sn，2an=sn+1 ，令n=1可得 a1=1再由当n2时，2an-1=sn-1+1 ，减去可得 2an-2an-1=an，an=2an-1，故数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，故an=12n-1=2n-1，故答案为 an=2n-1 【思路点拨】在2an=sn+1 中，令n=1可得 a1=1再由当n2时，2an-1=sn-1+1 ，用减去可得 an=2an-1，数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此可得数列an的通项公式【题文】15如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_.【知识点】绝对值不等式的解法e2【答案解析】k-3 存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|k成立，|x+1|-|x-2|表示数轴上的 x到-1的距离减去它到2的距离，最小值等于-3，故 k-3，故答案为：k-3【思路点拨】利用表示数轴上的 x到-1的距离减去它到2的距离，它|的最小值等于-3，而且存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|k成立，可得k-3【题文】16已知函数，给出下列五个说法：. 若，则.在区间上单调递增. 将函数的图象向右平移个单位可得到的图象.的图象关于点成中心对称其中正确说法的序号是 .【知识点】三角函数的图象与性质c3【答案解析】 f（x）=cosxsinx=sin2x，为奇函数f（）=f（）=sin=，正确；由f（x1）=-f（x2）=f（-x2），知x1=-x2+2k或x1=-x2+2k，kz；所以错误令-+2k2x+2k，得-+kx+k，由复合函数性质知f（x）在每一个闭区间-+k，+k上单调递增，但-，-+k，+k，故函数f（x）在-，上不是单调函数；所以错误将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=sin2(x-)=sin(2x-)=cos2x，所以正确；函数的对称中心的横坐标满足2x0=k，解得x0=，即对称中心坐标为(，0)，则点（-，0）不是其对称中心所以错误故答案为【思路点拨】利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可【题文】三、解答题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤【题文】17（本小题满分10分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程.（）直线（为参数）与曲线交于两点，于轴交于点e，求.【知识点】选修4-4 参数与参数方程n3【答案解析】(1) (2)（i）由曲线c的极坐标方程为=2（cos+sin），化为2-2cos-2sin=0，x2+y2-2x-2y=0，即（x-1）2+（y-1）2=2（ii）把直线l=（t为参数）与代入曲线c的方程可得：t2-3t+1=0，t1+t2=3，t1t2=1=3【思路点拨】（i）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；（ii）把直线l=（t为参数）与代入曲线c的方程，再利用参数方程的意义即可得出【题文】18.（本小题满分12分）已知函数设时取到最大值（）求的最大值及的值；（）在中，角所对的边分别为，且，试判断三角形的形状【知识点】解三角形c8【答案解析】(1) 时， （2）等边三角形(1)又，则，故当即时， （2）由（1）知，由即，又， 则即， 故 又 所以三角形为等边三角形.【思路点拨】利用三角函数图像和性质求出最值，根据余弦定理求出角确定三角形的形状。【题文】19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（）求该同学被淘汰的概率；（）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.【知识点】离散型随机变量及其分布列k6【答案解析】（）（）（）记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为，则， 该同学被淘汰的概率 （）的可能值为1,2,3， 的分布列为123p pabcde【思路点拨】分析出各种情况求出概率，根据可能取的值求出分布列数学期望。【题文】20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是的中点。（）求证：平面平面；（）若二面角的余弦值为，求直线与 平面所成角的正弦值。pabcdexyz【知识点】空间向量解决线面位置关系g10【答案解析】（）略（）（）平面abcd，平面abcd，又，平面pbc，平面eac，平面平面pbc (2)以c为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则c（0，0，0），a（1，1，0），b（1，1，0）。设p（0，0，a）（a0），则e（，）， ， 取=（1，1，0）则，m为面pac的法向量设为面eac的法向量，则，即，取，则，依题意，则。于是设直线pa与平面eac所成角为，则，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为。【思路点拨】利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求出法向量求出正弦值。【题文】21.（本小题满分12分）已知椭圆c的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点（1）求椭圆c的标准方程；（2）线段是椭圆过点的弦，且，求面积最大时实数的值.【知识点】椭圆及其几何性质h5【答案解析】（1）（2）1（1），又 （2）显然直线不与轴重合当直线与轴垂直时，|=3，； 当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆c的标准方程，整理，得 令所以由上，得所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3 所以， 【思路点拨】根据椭圆的a,b,c的关系求出椭圆方程，联立直线和椭圆根据根与系数的关系求出参数值。【题文】22.（本小题满分12分）设 , .（）当时,求曲线在处的切线的方程;（）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;（）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.【知识点】导数的应用b12【答案解析】（1）（）4（）a1（1）当时, 所以曲线在处的切线方程为; (2)存在,使得成立 等价于, 考察, ,递减极小值递增由上表可知, , 所以满足条件的最大整数; (3)当时,恒成立等价于恒成立,记h（x）=x-x2lnx，h（x）=1-2xlnx-x，h（1）=0记m（x）=1-2xlnx-x，m（x）=-3-2lnx，由于x，2，m（x）=-3-2lnx0，所以m（x）=h（x）=1-2xlnx-x在，2上递减，当x，1)时，h（x）0，x（1，2时，h（x）0，即函数h（x）=x-x2ln