高三数学一轮复习 第二章 函数 第九节 函数模型及应用课件 理.ppt

理数课标版 第九节函数模型及应用 1 几种常见的函数模型 教材研读 2 三种增长型函数模型的图象与性质 3 解函数应用题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y 2x的函数值比y x2的函数值大 2 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0 b 1 增长速度越来 越快的形象比喻 3 幂函数增长比直线增长更快 1 如图所示的四个容器高度都相同 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 注满为止 用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系 其中不正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案a将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来 中的增长应该是匀速的 故下面的图象不正确 中的增长速度是越来越慢的 正确 中的增长速度是先快后慢再快 正确 中的增长速度是先慢后快再慢 也正确 故只有 是错误的 选a 2 2016山东济宁模拟 某商品价格前两年每年递增20 后两年每年递减20 则四年后的价格与原来价格比较 变化的情况是 a 减少7 84 b 增加7 84 c 减少9 5 d 不增不减答案a设某商品原来价格为a 依题意得 a 1 0 2 2 1 0 2 2 a 1 22 0 82 0 9216a 0 9216 1 a 0 0784a 所以四年后的价格与原来价格比较 减少7 84 3 2016山东淄博模拟 某城市客运公司确定客票价格的方法是 如果行程不超过100km 票价是0 5元 km 如果超过100km 超过100km的部分按0 4元 km定价 则客运票价y 元 与行驶千米数x km 之间的函数关系式是 答案y 解析由题意可得y 4 用长度为24的材料围一矩形场地 且中间有两道隔墙 如图 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 答案3解析设隔墙的长度为x 矩形的面积为s 则s 12 2x x 2x2 12x 2 x 3 2 18 当x 3时 s取最大值 考点一一次函数与二次函数模型典例1牧场中羊群的最大蓄养量为m只 为保证羊群的生长空间 实际蓄养量不能达到最大蓄养量 必须留出适当的空闲量 已知羊群的年增长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比 比例系数为k k 0 1 写出y关于x的函数关系式 2 求羊群年增长量的最大值 3 当羊群的年增长量达到最大值时 求k的取值范围 解析 1 根据题意 由于最大蓄养量为m只 实际蓄养量为x只 则蓄养率为 故空闲率为1 由此可得y kx 0 x m 考点突破 2 对原二次函数配方 得y x2 mx 故当x 时 y取得最大值 3 由题意知为给羊群留有一定的生长空间 则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量 所以00 所以0 k 2 易错警示一次函数与二次函数模型问题的3个注意点 1 二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要注意函数的定义域 否则极易出错 2 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用待定系数法 3 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 变式1 1若本例牧场中羊群的最大蓄养量为10000只 实际蓄养量为8000只 比例系数k 1 则此时的年增长量为多少 解析由例题知y kx 0 x m 将m 10000 x 8000 k 1代入计算可得y 1 8000 1600 故此时羊群的年增长量为1600只 1 2为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻关 采用了新工艺 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为400吨 最多为600吨 月处理成本y 元 与月处理量x 吨 之间的函数关系可近似地表示为y x2 200 x 80000 且每处理一吨二氧化碳得到价值为100元的可利用化工产品 该单位每月能否获利 如果能获利 求出每月最大利润 如果不能获利 则需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损 解析设获利 或补贴 的钱数为s元 则s 100 x y 100 x x2 300 x 80000 x 300 2 35000 因为400 x 600 所以当x 400时 s有最大值 40000 故该单位不能获利 需要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏损 考点二对勾函数模型典例2 2016山东泰安模拟 某养殖场需定期购买饲料 已知该场每天需要饲料200千克 每千克饲料的价格为1 8元 饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0 03元 购买饲料每次支付运费300元 求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 解析设该场x x n 天购买一次饲料 平均每天支付的总费用为y元 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200 0 03 6 元 所以x天饲料的保管费与其他费用共是6 x 1 6 x 2 6 3x2 3x 元 从而有y 3x2 3x 300 200 1 8 3x 357 417 当且仅当 3x 即x 10时 y有最小值 故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 方法技巧应用对勾函数模型的关键点 1 明确对勾函数是正比例函数f x ax与反比例函数f x 相加 而成的 2 解决实际问题时一般可以直接建立f x ax 的模型 有时则是将所列函数关系式转化为含 ax 的形式 3 利用模型f x ax 求解最值时 要注意自变量的取值范围及取得最值时的条件 2 1 2016四川绵阳模拟 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间 年生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的关系可近似地表示为y 30 x 4000 则每吨平均成本最低时的年产量为 a 240吨b 200吨c 180吨d 160吨答案b依题意 得每吨平均成本为 30 x 0 则 2 30 10 当且仅当 即x 200时取等号 因此 当每吨平均成本最低时 年产量为200吨 考点三指数函数与对数函数模型典例3 1 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 a 2018年b 2019年c 2020年d 2021年 2 2015四川 13 5分 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是小时 答案 1 b 2 24解析 1 设x年后研发资金超过200万元 则130 1 12 x 200 1 12x xlg1 12 lg 0 05x 0 19 x 3 8 故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年 2 依题意有192 eb 48 e22k b e22k eb 所以e22k 所以e11k 或 舍去 于是该食品在33 的保鲜时间是e33k b e11k 3 eb 192 24 小时 规律总结应用指数函数模型的关注点 1 指数函数模型的应用类型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 2 应用指数函数模型时的关键 关键是对模型的判断 先设定模型 再将已知的有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 1 2016广东湛江模拟 一个容器装有细沙acm3 细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出 tmin后剩