高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（一）课件 新人教B版必修5.ppt

第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理1 1 2余弦定理 一 学习目标 1 理解余弦定理的证明 2 初步运用余弦定理及其变形形式解三角形 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 以下问题可以使用正弦定理求解的是 1 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 2 已知两角和一边 求其他角和边 3 已知一个三角形的两条边及其夹角 求其他的边和角 4 已知一个三角形的三条边 解三角形 1 2 2 如图所示 在直角坐标系中 若a 0 0 b c 0 c bcosa bsina 利用两点间距离公式表示出 bc 化简后会得出怎样的结论 解a2 bc 2 bcosa c 2 bsina 0 2 b2 sin2a cos2a 2bccosa c2 b2 c2 2bccosa 得出a2 b2 c2 2bccosa 预习导引 1 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的减去这两边与它们的余弦的积的 即a2 b2 c2 b2 c2 2bccosac2 a2 2cacosba2 b2 2abcosc 平方和 夹角 两倍 2 余弦定理的变形cosa cosb cosc 要点一已知两边及一角解三角形例1已知 abc 根据下列条件解三角形 1 b 3 c 3 b 30 解方法一由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得32 a2 3 2 2a 3 cos30 a2 9a 18 0 得a 3或6 当a 3时 由于b 3 a b 30 c 120 当a 6时 由正弦定理得sina 1 a 90 c 60 方法二由正弦定理得sinc 由b c c 60 或120 当c 60 时 a 90 由勾股定理a 6 当c 120 时 a 30 abc为等腰三角形 a b 3 解由余弦定理知b2 a2 c2 2accosb 2 a b b 45 0 a 180 a 60 c 75 0 a 180 a 120 c 15 规律方法已知两边及一角解三角形有以下两种情况 1 若已知角是其中一边的对角 有两种解法 一种方法是利用正弦定理先求角 再求边 另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解 2 若已知角是两边的夹角 则直接运用余弦定理求出另外一边 然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角 跟踪演练1在 abc中 已知a 5 b 3 角c的余弦值是方程5x2 7x 6 0的根 求第三边长c 解5x2 7x 6 0可化为 5x 3 x 2 0 x1 x2 2 舍去 cosc 根据余弦定理 c2 a2 b2 2abcosc 52 32 2 5 3 16 c 4 即第三边长为4 要点二已知三边或三边关系解三角形例2 1 已知 abc的三边长为a 2 b 2 c 求 abc的各角度数 b 45 c 180 a b 75 解 c a c b 角c最大 由余弦定理 得c2 a2 b2 2abcosc 即37 9 16 24cosc cosc 0 c 180 c 120 abc的最大内角为120 2 已知三角形abc的三边长为a 3 b 4 c 求 abc的最大内角 规律方法 1 已知三角形三边求角时 可先利用余弦定理求角 再用正弦定理求解 在用正弦定理求解时 要根据边的大小确定角的大小 防止产生增解或漏解 2 若已知三角形三边的比例关系 常根据比例的性质引入k 从而转化为已知三边解三角形 跟踪演练2在 abc中 已知bc 7 ac 8 ab 9 试求ac边上的中线长 解由余弦定理和条件 得设中线长为x 由余弦定理 得x2 2 ab2 2 abcosa 42 92 2 4 9 49 x 7 所以所求ac边上的中线长为7 要点三三角形形状的判断例3在 abc中 已知cos2 判断 abc的形状 解方法一在 abc中 由已知cos2 得 cosa 根据余弦定理 得 b2 c2 a2 2b2 即a2 b2 c2 abc是直角三角形 方法二在 abc中 设其外接圆半径为r 由正弦定理 b 2rsinb c 2rsinc cosa 即sinb sinccosa b a c sin a c sinccosa sinacosc 0 a c都是 abc的内角 a 0 a cosc 0 c abc是直角三角形 规律方法 1 方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式 方法二是借助于正弦定理 将已知等式转化为角的三角函数关系式 这两种方法是判断三角形形状的常用手段 2 一般地 如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式 要考虑用余弦定理 反之 若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式 则大多用正弦定理 若是以上特征不明显 则要考虑两个定理都有可能用 跟踪演练3在 abc中 若 a ccosb sinb b ccosa sina 判断 abc的形状 解方法一由正弦定理及余弦定理知 原等式可化为 a c b b c a 整理得 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 a2 b2 c2 0或a2 b2 故三角形为等腰三角形或直角三角形 方法二由正弦定理 原等式可化为 sina sinccosb sinb sinb sinccosa sina sinbcosb sinacosa sin2b sin2a 2b 2a或2b 2a a b或a b 故 abc为等腰三角形或直角三角形 1 一个三角形的两边长分别为5和3 它们夹角的余弦值是 则三角形的另一边长为 a 52b 2c 16d 4解析设另一边长为x 则x2 52 32 2 5 3 52 x 2 b 1 2 3 4 5 2 在 abc中 a 7 b 4 c 则 abc的最小角为 解析 a b c c为最小角 由余弦定理cosc b 1 2 3 4 5 3 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍 那么它的顶角的余弦值为 解析设顶角为c l 5c a b 2c 由余弦定理得 cosc d 1 2 3 4 5 4 在 abc中 已知a 60 最大边长和最小边长恰好是方程x2 7x 11 0的两根 则第三边的长为 解析设最大边为x1 最小边为x2 则x1 x2 7 x1x2 11 第三边长 4 1 2 3 4 5 5 在 abc中 sina sinb sinc 2 4 5 判断三角形的形状 解因为a b c sina sinb sinc 2 4 5 所以可令a 2k b 4k c 5k k 0 c最大 cosc 所以c为钝角 从而 abc为钝角三角形 1 2 3 4 5 课堂小结1 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 1 已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形 2 若已知两边和一边的对角 既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形 2 当所给的条件是边角混合关系时 判断三角形形状的基本思想是 用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系 若统一为角之间的关系 再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系 若统一为边之间的关系 再利用代数方法进行恒等变形 化简 找到边之间的关系 3 余弦