高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值课件 文 北师大版.ppt

3 2导数的应用 第2课时导数与函数的极值 最值 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 由f x 图像可知 x 0是函数f x 的极大值点 x 2是f x 的极小值点 故选c 例1 1 2016 青岛模拟 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图像如图所示 则y f x 的图像最有可能是 题型一用导数解决函数极值问题 命题点1根据函数图像判断极值 答案 解析 a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 2 设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图像如图所示 则下列结论中一定成立的是 答案 解析 由题图可知 当x0 当 22时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 命题点2求函数的极值例2 2016 泉州模拟 已知函数f x x 1 a r e为自然对数的底数 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于x轴 求a的值 解答 又曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于x轴 2 求函数f x 的极值 解答 当a 0时 f x 0 f x 为 上的增函数 所以函数f x 无极值 当a 0时 令f x 0 得ex a 即x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 上是减少的 在 lna 上是增加的 故f x 在x lna处取得极小值且极小值为f lna lna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 f x 在x lna处取得极小值lna 无极大值 命题点3已知极值求参数例3 1 2016 广州模拟 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 则a b 答案 解析 7 由题意得f x 3x2 6ax b 经检验当a 1 b 3时 函数f x 在x 1处无法取得极值 而a 2 b 9满足题意 故a b 7 答案 解析 几何画板展示 f x x2 ax 1 0恒成立 思维升华 1 求函数f x 极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 跟踪训练1 1 函数f x x2 1 2 2的极值点是a x 1b x 1c x 1或 1或0d x 0 答案 解析 f x x4 2x2 3 由f x 4x3 4x 4x x 1 x 1 0 得x 0或x 1或x 1 又当x0 当01时 f x 0 x 0 1 1都是f x 的极值点 当x0时 y 0 当 1 x 0时 y 0 当x 1时 y取极大值 3 答案 解析 3 题型二用导数求函数的最值 例4已知a r 函数f x lnx 1 解答 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 即x 4y 4ln2 4 0 2 求f x 在区间 0 e 上的最小值 解答 令f x 0 得x a 若a 0 则f x 0 f x 在区间 0 e 上是增加的 此时函数f x 无最小值 若00 函数f x 在区间 a e 上是增加的 所以当x a时 函数f x 取得最小值lna 若a e 则当x 0 e 时 f x 0 函数f x 在区间 0 e 上是减少的 综上可知 当a 0时 函数f x 在区间 0 e 上无最小值 当0 a e时 函数f x 在区间 0 e 上的最小值为lna 思维升华 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 跟踪训练2设函数f x x3 2x 5 若对任意的x 1 2 都有f x a 则实数a的取值范围是 答案 解析 由题意知 f x 3x2 x 2 题型三函数极值和最值的综合问题 例5已知函数f x a 0 的导函数y f x 的两个零点为 3和0 1 求f x 的单调区间 解答 令g x ax2 2a b x b c 因为ex 0 所以y f x 的零点就是g x ax2 2a b x b c的零点且f x 与g x 符号相同 又因为a 0 所以当 30 即f x 0 当x0时 g x 0 即f x 0 所以f x 的增区间是 3 0 减区间是 3 0 2 若f x 的极小值为 e3 求f x 在区间 5 上的最大值 解答 由 1 知 x 3是f x 的极小值点 解得a 1 b 5 c 5 因为f x 的递增区间是 3 0 递减区间是 3 0 所以f 0 5为函数f x 的极大值 故f x 在区间 5 上的最大值取f 5 和f 0 中的最大者 所以函数f x 在区间 5 上的最大值是5e5 思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间 或开区间 上的最值时 方法是不同的 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图像 然后借助图像观察得到函数的最值 a 5 0 b 5 0 c 3 0 d 3 0 答案 解析 由题意 得f x x2 2x x x 2 故f x 在 2 0 上是增函数 在 2 0 上是减函数 作出其图像如图所示 几何画板展示 典例 12分 已知函数f x lnx ax a r 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在 1 2 上的最小值 利用导数求函数的最值 答题模板系列3 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解区间 并注意定义域 2 先研究f x 在 1 2 上的单调性 再确定最值是端点值还是极值 3 两小问中 由于解析式中含有参数a 要对参数a进行分类讨论 思维点拨 规范解答 答题模板 几何画板展示 即函数f x 的递增区间为 0 2分 综上可知 当a 0时 函数f x 的递增区间为 0 所以f x 的最小值是f 2 ln2 2a 6分 所以f x 的最小值是f 1 a 7分 又f 2 f 1 ln2 a 当ln2 a 1时 最小值为f 2 ln2 2a 11分 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是 a 当a ln2时 函数f x 的最小值是ln2 2a 12分 返回 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步 求导数 求函数f x 的导数f x 第二步 求极值 求f x 在给定区间上的单调性和极值 第三步 求端点值 求f x 在给定区间上的端点值 第四步 求最值 将f x 的各极值与f x 的端点值进行比较 确定f x 的最大值与最小值 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 返回 课时作业 1 函数f x x3 4x 4的极大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f x x2 4 x 2 x 2 f x 在 2 上是增加的 在 2 2 上是减少的 在 2 上是增加的 所以f x 的极大值为f 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 四川 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a等于a 4b 2c 4d 2 答案 解析 f x x3 12x f x 3x2 12 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 2 时 f x 0 则f x 是增加的 当x 2 2 时 f x 0 则f x 是减少的 f x 的极小值点为a 2 3 2016 哈尔滨模拟 函数f x x2 lnx的最小值为a b 1c 0d 不存在 答案 解析 令f x 0 得x 1 令f x 0 得0 x 1 f x 在x 1处取得极小值也是最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是a 1 2 b 3 6 c 3 6 d 1 2 答案 解析 f x 3x2 2ax a 6 由已知可得f x 0有两个不相等的实根 4a2 4 3 a 6 0 即a2 3a 18 0 a 6或a 3 5 设函数f x 满足x2f x 2xf x f 2 则当x 0时 f x a 有极大值 无极小值b 有极小值 无极大值c 既有极大值又有极小值d 既无极大值也无极小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以当x 2时 h x 0 当00时 f x 是递增的 故f x 既无极大值也无极小值 6 2016 宜昌模拟 已知y f x 是奇函数 当x 0 2 时 f x lnx ax a 当x 2 0 时 f x 的最小值为1 则a的值等于 答案 解析 由题意知 当x 0 2 时 f x 的最大值为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 x f x g x x2 lnx x 0 7 2017 西安一中月考 设动直线x m与函数f x x2 g x lnx的图像分别交于m n 则 mn 的最小值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 函数f x x3 3a2x a a 0 的极大值是正数 极小值是负数 则a的取值范围是 答案 解析 f x 3x2 3a2 3 x a x a 由f x 0得x a 当 aa或x0 函数递增 f a a3 3a3 a 0且f a a3 3a3 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 即f x 在 0 1 上的最小值为f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 枣庄模拟 已知函数f x x3 ax2 4在x 2处取得极值 若m 1 1 则f m 的最小值为 答案 解析 f x 3x2 2ax 由f x 在x 2处取得极值知f 2 0 即 3 4 2a 2 0 故a 3 由此可得f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 由此可得f x 在 1 0 上是减少的 在 0 1 上是增加的 对m 1 1 时 f m min f 0 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为f x a x 5 2 6lnx 所以f x 2a x 5 11 设f x a x 5 2 6lnx 其中a r 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 解答 令x 1 得f 1 16a f 1 6 8a 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 16a 6 8a x 1 由点 0 6 在切线上 可得6 16a 8a 6 故a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 1 知 f x x 5 2 6lnx x 0 2 求函数f x 的单调区间与极值 解答 令f x 0 解得x 2或3 当03时 f x 0 故f x 在 0 2 和 3 上为增函数 当2 x 3时 f x 0 故f x 在 2 3 上为减函数 由此可知f x 在x 2处取得极大值f 2 6ln2 在x 3处取得极小值f 3 2 6ln3 综上 f x 的递增区间为 0 2 3 递减区间为 2 3 f x 的极大值为 6ln2 极小值为2 6ln3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 设函数f x alnx bx2 x 0 若函数f x 在x 1处与直线y 相切 1 求实数a b的值 解答 f x 2bx 函数f x 在x 1处与直线y 相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求函数f x 在 e 上的最大值 令f x 0 得1 x e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 13 2016 武汉调研 已知函数f x ax2 bx lnx a 0 b r 1 设a 1 b 1 求f x 的单调区间 解答 a 1 b 1 令f x 0 得x 1