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有限元法剪切锁闭现象的研究 专业 工程力学答辩人 徐鹏导师 李欣宇 武汉科技大学理学院2007年6月16日 论文题目 答辩提纲 课题背景及任务有限元分析的误差有限单元特征及剪切闭锁产生剪切闭锁的对策结论及下一步工作致谢 课题背景及任务 当梁不是细长梁时 梁变形后的横截面垂直于中面的假设不再成 Kirchhoff假设 立 需考虑剪切变形的影响 于是Timoshenko提出了剪切变形的梁理论 如果对扰度函数与转角函数进行独立插值 且考虑剪切变形的影响 构造出的单元为Timoshenko梁单元 Timoshenkobeamelement 此单元在退化为细长梁单元时 会导致剪切闭锁现象 经典薄板理论以Kirchhof假设为基础 忽略了横向剪切的影响 故计算结果与实验值相比 总是低估了挠度 高估了自然频率 由于横向剪切变形对厚板及复合材料的板单元影响较大 故忽略剪切变形的薄板理论已不再适用 于是Mindlin等人提出了板的剪切变形理论 以此构造出的为Mindlin板单元 Mindlinplateelement 与Timoshenko梁单元类似 当板很薄时 会发生剪切闭锁与零能模式 对于块体 由于形函数的阶数过低 而单元受到复杂应力作用 如产生弯曲扭转等 导致形函数不能真实表达 本文讨论剪切闭锁产生的原因 与对策 有限元分析的误差 结构体由于本身存在有自然的连接关系即自然节点 所以它们的离散化叫自然离散人为的在连续体内部与边界上划分节点 以单元连续的形式来逼近原来复杂的几何形状 这种过程叫逼近性离散 approximateddiscretization 控制误差的h方法 h version h method 和p方法 p version p method 2 1求解精度的估计 在这里我们考察平面单元的求解精度与收敛速度 单元的位移场可以展开为以下级数 2 1 对于满足完备性 completeness 和协调性 compatibility 要求的协调元 当时 有限元分析的结果是单调收敛的如图 2 1 图2 1有限元分析结果的收敛情况 纵坐标是总势能 还可以就两次网格划分所计算的结果进行外推以估计结果的准确值如第一次网格划分的结果是 然后进一步将各单元尺寸减半进行网格划分 得到结果为 假设该单元的收敛速度是 则其准确解可以按如下方法估计 2 2 具体对平面3节点三角形单元有s 2 上式可化为 2 3 可由此估计出准确解 2 4 由有限个单元的试函数来逼近整体域的场函数所引起的误差 即离散误差 2 2提高精度的 方法和 方法 方法 h version 不改变各单元上的形状函数 只通过渐渐加密有限元的网格使结果趋于准确解 方法 p version 同 方法相反 它是不改变单元网格 而采用较高阶的多项式来进行插值 3 有限元的单元特征及剪切闭锁的产生 Timoshenko梁单元的剪切闭锁现象Mindlin板单元的剪切闭锁现象块体单元的闭锁现象 3 1Timoshenko梁单元 当梁不是细长梁时 梁变形后的横截面垂直于中性层的假设不再成立 Kirchhoff假设 这时需要考虑梁的剪切变形 考虑剪切变形的几何描述如图3 1所示 图3 1具有剪切变形影响的梁变形 设剪切变形为 则 3 1 设单元的总挠度函数和截面转角函数的单元插值模式为 线性插值 3 2 3 3 其中 分别为单元节点1和2的挠则 3 4 由 3 1 可得到剪应变为 3 5 曲率为 3 6 将节点的位移列阵记为 3 7 则 3 5 化为 3 8 3 9 曲率为 3 10 为曲率几何矩阵 3 11 将上式代入得到单元势能泛函 3 12 其中单元的刚度阵由剪切和弯曲变形刚度阵组成 3 13 3 2Mindlin板单元 3 3块体单元 以如图3 2悬臂梁的静力分析为例来说明块体的剪切闭锁现象图3 2在自由端受到点载荷P的悬臂梁 梁为150mm长 2 5mm宽 5mm高 一端固定 自由端承受5N的末端荷载 材料的杨氏模量E为70GPa 泊松比为0 0 采用梁的理论 在给定载荷P作用下 梁末端的挠度为 3 22 其中I bd3 12 是长度 b是宽度 d是梁的高度 P 5N时末端挠度是3 09mm 如图3 4所示 使用几种不同的单元网格划分对悬臂梁问题进行模拟 模拟既采用线性又采用二次的完全积分单元 并说明了单元阶数 一阶与二阶 和网格密度对结果精度的影响 图3 4用于悬臂梁模拟的网格划分 由上知道四节点的线性单元 CPS4 与8节点的六面体单元预测的挠度值基本上是不可以用的 图3 68节点的六面体单元 4剪切闭锁的对策 1 板 梁 问题厚板理论挠度和转角是独立位移而剪应变 方法I从假设入手方法II从假设入手方法 从假设入手2 块体问题将在缩减积分详细介绍 4 1缩减积分法 选择性缩减积分法 非协调元 4 1 4 2 剪切应变能的表达式 4 3 具体的有一点积分得到的 4 4 图4 1 将 4 6 代入 4 5 的到 4 7 图 2使用缩减积分的二维单元中的积分点 表4 1使用缩减积分单元的梁挠度的归一化结果 图4 3承受弯矩M的使用缩减积分的线性单元的变形 4 1 2选择性缩减积分 实质上同缩减积分没有区别 只是在处理实际问题时加以改善了 对于可能会发生锁闭的局部采用缩减积分 减少计算量 4 1 3非协调元 非协调元是为克服完全积分的 一阶线性单元的剪切闭锁问题的一种尝试 由于剪切闭锁是单元的位移场不能模拟与弯曲相关的变形而引起的 所以在一阶单元中引入一个增强单元变形梯度的附加自由度 这种对变形梯度的增强可以允许变形梯度在一阶单元的单元域上有一个线性变化 如图4 4 a 所示 而标准的单元数学公式在单元中只能得到一个常数变形梯度 如图4 4 b 所示 这导致与剪力闭锁相关的非零剪切应力 在弯曲问题中 非协调元可能产生与二次单元相当精度的结果 但计算成本却明显的下降 然而 它们对单元的扭曲很是敏感 图4 4变形梯度的变化 图4 5使用位移场增强而非变形梯度增强非协调模式单元间潜在的运动非协调性 ABAQUS Standard使用后一表达式为其非协调模式单元图4 6非协调模式单元的扭曲网格 图4 7平行和交错扭曲对非协调元的影响 4 2厚板单元解析试函数法 在有限元的离散法中吸取解析法的优点并加以利用 很早就有文献论述 利用基本解析解作为试函数而构造出的广义协调元在厚板平衡微分方程中 如果将内力改用位移表示 就得到厚板位移法的基本微分方程 考虑载荷为零时的齐次问题 则有 4 8 设F x y 是双调和函数 满足双调和方程 4 9 其中 4 10 则下列为上式微分方程的解 4 11 设是一个特征长度 引入无量纲坐标 4 12 4 13 代入得到 4 14 如果 则厚板理论的解析解退化为薄板理论的解析解 4 15 4 16 结论 在有限元分析中 不能忽视切应力的影响 需要对具体问题进行必要的分析 若不当 则会产生很大的误差 如把厚板元用于薄板时 其结果误差太大 远不能够满足工程上的需要 如表4 1所示 若结构受到弯曲或扭曲时 需要充分考虑切应力的影响 在确定可能会发生剪切闭锁的情况下 一方面可以采取适当的细分网格 但同时必须考察剪切闭锁的情况 针对不同的问题采用不同的解决方法 对于一般问题可以采用缩减积分 选择性缩减积分法 当然 我们必须认识到这两种方法本质上的缺陷 只是减轻 不能根除 而且还有可能引入新的问题零能模式 在探索剪切闭锁的原因时 我们发现几种可以