高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值课件 理 苏教版.ppt

2 2函数的单调性与最值 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间i上是或 那么就说函数y f x 在区间i上具有单调性 区间i叫做y f x 的单调区间 单调增函数 单调减函数 2 函数的最值 f x f x0 f x f x0 函数单调性的常用结论 3 在区间d上 两个增函数的和仍是增函数 两个减函数的和仍是减函数 4 函数f g x 的单调性与函数y f u 和u g x 的单调性的关系是 同增异减 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若定义在r上的函数f x 有f 1 f 3 则函数f x 在r上为增函数 2 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 3 函数y 的单调递减区间是 0 0 4 所有的单调函数都有最值 5 如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数 则这个函数在定义域上是增函数 6 闭区间上的单调函数 其最值一定在区间端点取到 考点自测 1 教材改编 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 填序号 y y 2x 1 y 1 x y 2x 1 2 y 在 0 2 上为减函数 y 2x 1在 0 2 上为增函数 y 1 x在 0 2 上为减函数 y 2x 1 2在 上为减函数 在 上为增函数 答案 解析 2 教材改编 函数y 的单调增区间为 单调减区间为 当x 0时 y x为增函数 当x 0时 y x2为减函数 答案 解析 0 0 几何画板展示 3 教材改编 已知函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上是增函数 则实数a的取值范围为 函数f x x2 2ax 3的图象开口向上 对称轴为直线x a 画出草图如图所示 由图象可知函数f x 的单调递增区间是 a 由 1 2 a 可得a 1 答案 解析 1 4 2016 盐城模拟 函数y x2 2x 3 x 0 的单调增区间为 函数的对称轴为x 1 又x 0 所以函数f x 的单调增区间为 0 答案 解析 0 几何画板展示 5 教材改编 已知函数f x x 2 6 则f x 的最大值为 最小值为 答案 解析 2 题型分类深度剖析 题型一确定函数的单调性 区间 命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1 1 2016 连云港模拟 函数f x x2 4 的单调递增区间是 因为y t t 0在定义域上是减函数 所以求原函数的单调递增区间 即求函数t x2 4的单调递减区间 结合函数的定义域 可知所求区间为 2 答案 解析 2 2 y x2 2 x 3的单调增区间为 由题意知 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数的图象如图 由图象可知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 答案 解析 1 0 1 命题点2解析式含参数的函数的单调性例2已知函数f x a 0 用定义法判断函数f x 在 1 1 上的单调性 解答 设 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 又 a 0 f x1 f x2 0 函数f x 在 1 1 上为减函数 几何画板展示 引申探究如何用导数法求解例2 解答 a 0 f x 0在 1 1 上恒成立 故函数f x 在 1 1 上为减函数 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图象法 图象不连续的单调区间不能用 连接 思维升华 跟踪训练1 1 已知函数f x 则该函数的单调递增区间为 设t x2 2x 3 则t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图象的对称轴为x 1 所以函数t在 1 上单调递减 在 3 上单调递增 所以函数f x 的单调递增区间为 3 答案 解析 3 2 已知函数f x lnx mx2 m r 求函数f x 的单调区间 解答 导数法 依题意知f x 的定义域为 0 当m 0时 f x 0 f x 在 0 上单调递增 题型二函数的最值例3 1 函数f x 的最大值为 当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 答案 解析 2 又x 1 解答 几何画板展示 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 f x x 2 x 1 当a 0时 f x 在 1 内为增函数 最小值为f 1 a 3 要使f x 0在x 1 上恒成立 只需a 3 0 所以 30 a 3 所以0 a 1 综上所述 f x 在 1 上恒大于零时 解答 因为x 1 所以f x 0 所以f x min f 1 a 3 a的取值范围是 3 1 求函数最值的五种常用方法及其思路 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 思维升华 跟踪训练2 1 函数y x 的最小值为 易知函数y x 在 1 上为增函数 x 1时 ymin 1 本题也可用换元法求解 答案 解析 1 2 函数f x x 1 的最小值为 答案 解析 8 方法一 基本不等式法 令f x 0 得x 4或x 2 舍去 当14时 f x 0 f x 在 4 上是递增的 所以f x 在x 4处取到极小值也是最小值 即f x min f 4 8 题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例4已知函数f x 的图象向左平移1个单位后关于y轴对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 0恒成立 设a f b f 2 c f 3 则a b c的大小关系为 根据已知可得函数f x 的图象关于直线x 1对称 且在 1 上是减函数 答案 解析 b a c 命题点2解函数不等式例5 2017 苏州月考 定义在r上的奇函数y f x 在 0 上递增 且f 0 则满足 0的x的集合为 答案 解析 命题点3求参数范围例6 1 如果函数f x ax2 2x 3在区间 4 上是单调递增的 则实数a的取值范围是 当a 0时 f x 2x 3 在定义域r上是单调递增的 故在 4 上单调递增 当a 0时 二次函数f x 的对称轴为x 因为f x 在 4 上单调递增 答案 解析 几何画板展示 答案 解析 由已知条件得f x 为增函数 几何画板展示 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决 2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域 思维升华 3 利用单调性求参数 视参数为已知数 依据函数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参数 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 跟踪训练3 1 2016 徐州模拟 已知函数f x x ex 若f x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 f x x ex f x 答案 解析 f x 在r上为偶函数 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上为增函数 由f x1 f x2 得f x1 f x2 x1 x2 2 2016 宿迁模拟 要使函数y 与y log3 x 2 在 3 上具有相同的单调性 则实数k的取值范围是 由于y log3 x 2 的定义域为 2 且为增函数 故函数y log3 x 2 在 3 上是增函数 因其在 3 上是增函数 故4 k 0 得k 4 答案 解析 4 典例 14分 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 1 对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与0比较大小 2 将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本题的切入点 要构造出f m f n 的形式 思维点拨 解抽象函数不等式 答题模板系列1 规范解答 答题模板 1 证明设x1 x2 r且x10 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 3分 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 5分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上为增函数 7分 2 解 m n r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 9分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 11分 f x 在r上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 14分 返回 解函数不等式问题的一般步骤第一步 定性 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 转化 将函数不等式转化为f m f n 的形式 第三步 去f 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 求解 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2016 南京模拟 下列函数中 在区间 1 上是增函数的是 y x 1 y y x 1 2 y 31 x 中 函数在 1 上为减函数 中 函数在 1 上为减函数 中 函数在 1 上为减函数 答案 解析 2 函数f x x 2 x的单调减区间是 当x 2时 f x 为增函数 当x 2时 1 是函数f x 的增区间 1 2 是函数f x 的减区间 答案 解析 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 定义新运算 当a b时 a b a 当a b时 a b b2 则函数f x 1 x x 2 x x 2 2 的最大值等于 由已知得 当 2 x 1时 f x x 2 当1 x 2时 f x x3 2 f x x 2 f x x3 2在定义域内都为增函数 f x 的最大值为f 2 23 2 6 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 已知f x 是r上的单调递增函数 则实数a的取值范围是 答案 解析 4 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 函数f x 的定义域为d 若对于任意x1 x2 d 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则称函数f x 在d上为非减函数 设函数f x 在 0 1 上为非减函数 且满足以下三个条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由 令x 0 可得f 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则实数a的取值范围是 要使y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则a 0且a 1 0 a 1 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 函数f x x log2 x 2 在区间 1 1 上的最大值为 由于y x在r上递减 y log2 x 2 在 1 1 上递增 所以f x 在 1 1 上单调递减 故f x 在 1 1 上的最大值为f 1 3 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2017 江苏天一中学月考 对a b r 记max a b 函数f x max x 1 x 2 x r 的最小值是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 已知f x 不等式f x a f 2a x 在 a a 1 上恒成立 则实数a的取值范围是 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二次函数y1 x2 4x 3的对称轴是x 2 该函数在 0 上单调递减 x2 4x 3 3 同样可知函数y2 x2 2x 3在 0 上单调递减 x2 2x 3f 2a x 得到x a 2a x 即2x a 2x a在 a a 1 上恒成立 2 a 1 a a 2 实数a的取值范围是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 2016 江苏新海中学期中 已知函数f x 4x2 4ax 4a a2 a 0 在区间 0 1 内有一个最大值 5 则a的值为 答案 解析 ymax f 1 4 a2 令 4 a2 5 a 1 2 舍去 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 2016 江苏泰州中学月考 已知t为常数 函数y x2 2x t 在区间 0 3 上的最大值为2 则t 二次函数y x2 2x t图象的对称轴为x 1 函数y x2 2x t 的图象是将二次函数y x2 2x t的图象在x轴下方的部分翻到x轴上方 x轴上方部分不变 得到的 由区间 0 3 上的最大值为2 知ymax f 3 3 t 2 解得t 1或5 检验t 5时 f 0 5 2不符 而t 1时满足题意 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7