八年级数学上册 1 勾股定理课件 （新版）北师大版.ppt

1探索勾股定理 第一章勾股定理 1 经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程 了解勾股定理的探究方法及其内在联系 2 掌握勾股定理 并能运用勾股定理解决一些实际问题 这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票 a b c 9 16 怎么求sr的大小 有几种方案 如图 小方格的边长为1 c 用 补 的方法 sr 用 割 的方法 q sr 图中每个小方格代表1个单位面积 1 在图中 正方形a中含有个小方格 即a的面积是个单位面积 正方形b的面积是 个单位面积 正方形c的面积是 个单位面积 9 9 9 18 探究勾股定理 图中每个小方格代表1个单位面积 把正方形c分割成若干个直角边为整数的三角形来求 18个单位面积 图中每个小方格代表1个单位面积 18个单位面积 把正方形c看成边长为6的正方形面积的一半 图中每个小方格代表1个单位面积 图1 图2 2 在图2中 正方形a b c中各含有多少个小方格 它们的面积各是多少 3 你能发现图1中三个正方形a b c的面积之间有什么关系吗 图2呢 sa sb sc 即 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 1 观察图1 图2 并填写下表 a的面积 单位面积 b的面积 单位面积 c的面积 单位面积 图1 图2 16 9 25 4 9 13 做一做 2 右图中正方形a b c的面积之间有什么关系 sa sb sc 即 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾 较长的直角边叫做股 斜边叫做弦 据 周髀算经 记载 西周战国时期 约公元前1千多年 有个叫商高的人对周公说 把一根直尺折成直角 两端连接得一个直角三角形 如果勾是3 股是4 那么弦等于5 3 4 5 勾 股 弦 人们还发现 在直角三角形中 勾是6 股是8 勾是5 股是12 弦一定是13 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢 世界上许多数学家 先后用不同方法证明了这个结论 我国把它称为勾股定理 弦一定是10 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾 股 弦 用两种方法表示大正方形的面积 对比两种表示方法 你得到勾股定理了吗 我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的 例 如图 一根旗杆在离地面9m处折断 旗杆顶部落在离旗杆底部12m处 旗杆原来有多高 12m 9m 例题 解析 设旗杆顶部到折断处的距离为xm 根据勾股定理得 x 15 15 9 24 m 答 旗杆原来高24m a b c 如图 太阳能热水器的支架ab长为90cm 与ab垂直的bc长为120cm 太阳能真空管ac有多长 解析 在rt abc中 由勾股定理 得ac 150 cm 答 太阳能真空管ac长150cm 跟踪训练 1 义乌 中考 在直角三角形中 满足条件的三边长可以是 写出一组即可 解析 答案不唯一 只要满足式子a2 b2 c2即可 答案 3 4 5 满足题意的均可 2 飞机在空中水平飞行 某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3km处 过了20s 飞机距离这个男孩头顶5km 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米 3 求斜边长17cm 一条直角边长15cm的直角三角形的面积 解析 设另一条直角边长是xcm 由勾股定理得 152 x2 172 x2 172 152 289 225 64 所以x 8 负值舍去 所以另一直角边长为8cm 直角三角形的面积是 cm2 通过本课时的学习 需要我们掌握 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 即 没有智慧的头脑 就像没有蜡烛的灯笼 2一定是直角三角形吗 1 经历直角三角形的判别条件 即勾股定理的逆定理 的探究过程 发展推理论证能力 2 掌握勾股定理的逆定理及勾股数的定义 并能进行简单的应用 古埃及人曾用下面的方法得到直角 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段 一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结 两个助手分别握住第4个结和第8个结 拉紧绳子就得到一个直角三角形 其直角在第4个结处 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a b c 5 12 13 7 24 25 8 15 17 1 这三组数都满足a2 b2 c2吗 2 分别以每组数为三边作出三角形 用量角器量一量 它们都是直角三角形吗 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 满足a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 都满足 都是直角三角形 古埃及人曾用下面的方法得到直角 现在明白古埃及人的这种做法有道理了吧 例 一个零件的形状如图1所示 按规定这个零件中 a和 dbc都应为直角 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示 你说这个零件符合要求吗 d a b c 4 3 5 13 12 例题 d a b c 图1 图2 在 bcd中 所以 bcd是直角三角形 dbc是直角 因此 这个零件符合要求 解析 在 abd中 所以 abd是直角三角形 a是直角 1 如果线段a b c能组成直角三角形 则它们的比可以是 3 4 7b 5 12 13c 1 2 4d 1 3 5 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数 则得到的三角形 a 是直角三角形b 可能是锐角三角形c 可能是钝角三角形d 不可能是直角三角形 b a 跟踪训练 4 如果三条线段a b c满足a2 c2 b2 这三条线段组成的三角形是直角三角形吗 为什么 解析 是直角三角形 因为a2 b2 c2 满足勾股定理的逆定理 3 以 abc的三条边为边长向外作正方形 依次得到的面积是25 144 169 则这个三角形是 三角形 直角 1 下列三角形是直角三角形吗 不是 是 2 眉山 中考 如图 每个小正方形的边长为1 a b c是小正方形的顶点 则 abc的度数为 a 90 b 60 c 45 d 30 解析 选c 根据勾股定理可知ac2 5 bc2 5 ab2 10 因为ac bc 而且ac2 bc2 5 5 10 ab2 所以 abc是等腰直角三角形且 acb 90 所以 abc bac 45 3 如图 在四边形abcd中 ac dc adc的面积为30cm2 dc 12cm ab 3cm bc 4cm 求 abc的面积 解析 因为 adc的面积为30cm2 dc 12cm 所以ac 5cm 又因为所以 abc是直角三角形 b是直角 所以 通过本课时的学习 需要我们掌握 1 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 2 勾股数 满足a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 努力不一定成功 但是放弃必定会失败 3勾股定理的应用 1 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件 即勾股定理的逆定理 解决简单的实际问题 2 数学思考 解决问题 在将实际问题抽象为数学问题的过程中 学会观察图形 提高分析问题 解决问题的能力及渗透数学建模的思想 1 你知道勾股定理的内容吗 2 一个三角形的三条边长分别为a b c c a c b 能否判断这个三角形是否是直角三角形 12m 欲登上12m的建筑物 为了安全 需使梯子底端离建筑物底部5m 至少需要多长的梯子 一个圆柱形易拉罐 下底面a点处有一只蚂蚁 上底面上与a点相对的点b处有粒糖 蚂蚁想吃到点b处的糖 1 蚂蚁从a点爬到b点可能有哪些路线 同桌讨论后 在自己的圆柱上画出来 1 蚂蚁从a点爬到b点可能有哪些路线 2 路线 中最短路线是哪条 议一议 a b 3 若圆柱的高为12 底面半径为3时 3条路线分别多长 取3 12 3 a a b h r 18 21 15 9 75 12 75 9 75 8 625 11 625 9 375 做一做 a 我想检测雕塑底座正面的ad边和bc边是否分别垂直于底边ab 随身只带了一把卷尺 1 量得ad长是30cm ab长是40cm bd长是50cm ad边垂直于ab边吗 a c d b 解析 如图ad2 ab2 302 402 502 bd2 得 dab 90 ad边垂直于ab边 2 若随身只有一个长度为20cm的刻度尺 能有办法检验ad边是否垂直于ab边吗 a c d b 解析 在ad上取点m 使am 9 在ab上取点n使an 12 测量mn是否是15 是 就是垂直 不是 就是不垂直 例 今有池方一丈 葭生其中央 出水一尺 引葭赴岸 适与岸齐 问水深 葭长各几何 注 方 正方形丈 长度单位 1丈 10尺葭 芦苇 九章算术 中的趣题 例题 解析 设水池的深度为x尺 则芦苇的长度为 x 1 尺 x x 1 由勾股定理得x2 52 x 1 2 x 12 x2 25 x2 2x 1 24 2x 答 水池的深度为12尺 芦苇的长度为13尺 1 甲 乙两位探险者到沙漠进行探险 已知两人从同地出发 某日早晨8 00甲先出发 他以6km h的速度向正东行走 1小时后乙出发 他以5km h的速度向正北行走 上午10 00 甲 乙两人相距多远 跟踪训练 解析 如图 已知a是甲 乙的出发点 10 00甲到达b点 乙到达c点 则 ab 2 6 12 km ac 1 5 5 km 在rt abc中 bc 13 km 即甲乙两人相距13km 2 如图 台阶a处的蚂蚁要爬到b处搬运食物 它怎么走最近 并求出最近距离 解析 将其展开得如图示意图 所以最近的距离为25 1 钦州 中考 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边ac 6cm bc 8cm 将 abc折叠 使点b与点a重合 折痕为de 则be的长为 a 4cmb 5cmc 6cmd 10cm b 2 有一个高为1 5m 半径是1m的圆柱形油桶 在靠近边的地方有一小孔 从孔中插入一铁棒 已知铁棒在油桶外的部分为0 5m 问这根铁棒有多长 解析 设伸入油桶中的长度为xm 则最长时 最短时 所以最长是2 5 0 5 3 m 答 这根铁棒的长应在2 3m之间 所以最短是1 5 0 5 2 m 3 如图 在棱长为10cm的正方体的一个顶点a处有一只蚂蚁 现要向顶点b处爬