四川省成都市青白江区八年级数学下册 第一章 三角形的证明 等腰与直角三角形课件 （新版）北师大版.ppt

等腰 直角三角形 基础知识自主学习 1 等腰三角形 1 性质 相等 相等 底边上的高线 中线 顶角的角平分线 三线合一 2 判定 有两边相等 两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形 2 等边三角形 1 性质 相等 三内角都等于 2 判定 三边相等 三内角相等或有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 要点梳理 两腰 两底角 三边 60 3 直角三角形 在 abc中 c 90 1 性质 边与边的关系 勾股定理 a2 b2 2 角与角的关系 a b 3 边与角的关系 若 a 30 则a c b c 若a c 则 a 30 若 a 45 则a b c 若a c 则 a 45 斜边上的中线m c r 其中r为三角形外接圆的半径 4 判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 c2 90 难点正本疑点清源 1 等腰三角形的特殊性 等边对等角 是今后我们证明角相等的又一个重要依据 等角对等边 可以判定一个三角形是等腰三角形 同时也是今后证明两条线段相等的重要依据 等边三角形是等腰三角形 但等腰三角形不一定是等边三角形 等边三角形拥有等腰三角形的所有性质 但不分顶角 底角 腰 底边 因为等边三角形任何一个角都为60 任何一条边都可看做腰或底边 解答等腰三角形的有关问题时 常作辅助线 构造出 三线合一 的基本图形 在添加辅助线时 要根据具体情况而定 表达辅助线的语句 不能限制条件过多 如一边上的高并且要平分这条边 作一边上的中线并且垂直平分这条边 作一个角的平分线并且垂直对边等等 这些都是不正确的 基础自测 1 2011 济宁 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm 那么此三角形的周长是 a 15cmb 16cmc 17cmd 16cm或17cm答案d解析这个三角形的周长是5 5 6 16或6 6 5 17 2 2011 铜仁 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是 a 等腰三角形两底角相等b 等腰三角形底边上的高 底边上的中线 顶角的平分线互相重合c 等腰三角形是中心对称图形d 等腰三角形是轴对称图形答案c解析等腰三角形是轴对称图形 不是中心对称图形 3 2011 芜湖 如图 已知 abc中 abc 45 f是高ad和be的交点 cd 4 则线段df的长度为 a 2b 4c 3d 4答案b解析在rt abd中 abd 45 可得ad bd 易证 bdf adc 所以df cd 4 5 2011 鸡西 如图 在rt abc中 ab cb bo ac 把 abc折叠 使ab落在ac上 点b与ac上的点e重合 展开后 折痕ad交bo于点f 连结de ef 下列结论 tan adb 2 图中有4对全等三角形 若将 def沿ef折叠 则点d不一定落在ac上 bd bf s四边形dfoe s aof 上述结论中正确的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案c 题型分类深度剖析 例1 1 方程x2 9x 18 0的两个根是等腰三角形的底和腰 则这个三角形的周长为 a 12b 12或15c 15d 不能确定答案c解析解方程x2 9x 18 0 得x1 3 x2 6 周长为3 6 6 15 应选c 2 如果等腰三角形的一个内角是80 那么顶角是 度 答案80或20解析顶角是80 或当底角是80 时 顶角是180 2 80 20 探究提高在等腰三角形中 如果没有明确底边和腰 某一边可以是底 也可以是腰 同样 某一角可以是底角也可以是顶角 必须仔细分类讨论 题型一等腰三角形有关边角的讨论 知能迁移1 1 2011 株洲 如图 abc中 ab ac a 36 ac的垂直平分线交ab于e d为垂足 连接ec 求 ecd的度数 若ce 5 求bc长 解 解法一 de垂直平分ac ce ae ecd a 36 解法二 de垂直平分ac ad cd ade cde 90 又 de de ade cde ecd a 36 解法一 ab ac a 36 b acb 72 ecd a 36 bce acb ecd 36 bec 180 36 72 72 b bc ec 5 解法二 ab ac a 36 b acb 72 bec a ecd 72 bec b bc ec 5 2 2011 烟台 等腰三角形的周长为14 其一边长为4 那么 它的底边为 答案4或6解析 等腰三角形的底边为4 等腰三角形的两腰为4时 则底边等于14 4 4 6 题型二等腰三角形的性质 例2 如图 在等腰rt abc中 bac 90 点d是bc的中点 且ae bf 试判断 def的形状 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 连接ad 在等腰rt abc中 ad是中线 ad bc dae bac 45 ad bd 又 b c 45 b dae 2分 在 bdf和 ade中 bdf ade sas 4分 df de 1 2 又 3 1 90 2 3 90 即 edf 90 def也是等腰直角三角形 6分 探究提高作等腰三角形的底边中线 构造等腰三角形 三线合一 的基本图形 是常见的辅助线的作法之一 知能迁移2已知 如图 d是等腰 abc底边bc上一点 它到两腰ab ac的距离分别为de df 当d点在什么位置时 de df 并加以证明 解当点d在bc的中点时 de df ab ac b c de ab df ac deb dfc 90 点d是bc的中点 bd cd bde cdf aas de df 题型三等边三角形 例3 1 已知 如图 p q是 abc边bc上两点 且bp pq qc ap aq 求 bac的度数 解 ap pq aq apq是等边三角形 paq 60 apq 60 ap bp b bap 60 30 同理 c caq 30 bac 30 60 30 120 2 2012 大兴安岭 如图所示 已知 abc和 dce均是等边三角形 点b c e在同一条直线上 ae与bd交于点o ae与cd交于点g ac与bd交于点f 连接oc fg 则下列结论 ae bd ag bf fg be boc eoc 其中正确结论的个数 a 1个b 2个c 3个d 4个答案d 解析由 bcd ace 可得 ae bd成立 由 acg bcf 可得 ag bf成立 acg bcf cg cf 又 acd 60 fcg是等边三角形 cfg 60 acb fg be成立 过c画cm bd cn ae 垂足分别是m n bcd ace cm cn 点c在 boe的角平分线上 oc平分 boe 即 boc eoc成立 探究提高在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质 每个角都相等 每条边都相等 这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件 知能迁移3如图 在等边 abc中 点d e分别在边bc ab上 且bd ae ad与ce交于点f 1 求证 ad ce 2 求 dfc的度数 解 1 在等边 abc中 ab ac bac cba 60 又bd ae abd cae ad ce 2 abd cae bad eca dfc是 afc的外角 dfc eca dac bad dac bac 60 答题规范 考题再现在 abc中 高ad和高be相交于h 且bh ac 求 abc的度数 学生作答解 如图1 在rt bhd和rt acd中 c cad 90 c hbd 90 hbd cad 又 bh ac bhd acd bd ad adb 90 abc 45 9 三角形的高可能在形外 图1 规范解答解 这里的 abc有两种情况 abc是锐角 图1 或 abc是钝角 图2 如图2 在rt bhd和rt acd中 易得 dca dhb 又 ac bh dhb dca ad db dba 45 ab