高三数学 知识点精析精练8 三角函数的图象与性质.doc

2014高三数学知识点精析精练8：三角函数的图象与性质【复习要点】1掌握三角函数的性：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。了解周期函数和最小正周期的意义。2掌握“五点作图法”和形如的函数图象与的图象间的变换关系。【例题】【例1】 试确定下列函数的定义域；解：要使函数有意义，只须满足条件解得：要使函数有意义，只须满足条件 解得【例2】 求函数的最小值解：当【例3】 已知函数f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1，（a、b为常数，a0），它的定义域为0,，值域为3,1，试求a、b的值。解：f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1=a(1cos2x)asin2x+a+b1=2asin0x 2x+ a0，恒成立，此时，下面，我们只需考虑的情形如果我们把看作是关于的余弦函数，把看作是关于的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性至此为止，可以看出：由于和同属于余弦函数的一个单调区间，（即，），所以，只需比较与的大小即可事实上，（）=所以，利用余弦函数在上单调递减，可得：也即综上，点评本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助是一道很有训练价值的好题【三角函数的图象与性质练习1】一、选择题1函数y=xcosx的部分图象是( )2函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )a.非奇非偶函数b.仅有最小值的奇函数c.仅有最大值的偶函数d.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3函数f(x)=()cosx在，上的单调减区间为_.4设0，若函数f(x)=2sinx在，上单调递增，则的取值范围是_.三、解答题5设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cr),已知不论、为何实数恒有f(sin)0和f(2+cos)0。(1)求证：b+c=1；(2)求证c3；(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.6用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7有一块半径为r，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8设x，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值.9是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.参考答案一、1.解析：函数y=xcosx是奇函数，图象不可能是a和c，又当x(0, )时，y0.答案：d2.解析：f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+1.答案：d二、3.解：在,上，y=cosx的单调递增区间是,0及,.而f(x)依cosx取值的递增而递减,故,0及,为f(x)的递减区间.4.解：由x，得f(x)的递增区间为,，由题设得三、5.解：(1)1sin1且f(sin)0恒成立，f(1)012+cos3,且f(2+cos)0恒成立.f(1)0.从而知f(1)=0b+c+1=0.(2)由f(2+cos)0,知f(3)0,9+3b+c0.又因为b+c=1,c3.(3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin)2+c()2,当sin=1时，f(sin)max=8,由解得b=4,c=3.6.解：如图，设矩形木板的长边ab着地，并设oa=x，ob=y，则a2=x2+y22xycos2xy2xycos=2xy(1cos).0,1cos0,xy (当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值v1=(xysin)b=.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积v的最大值v2=ab2cos,ab,v1v2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为a2bcos.7.解：如下图，扇形aob的内接矩形是mnpq，连op，则op=r，设aop=，则qop=45，np=rsin,在pqo中，pq=rsin(45).s矩形mnpq=qpnp=r2sinsin(45)=r2cos(245)r2，当且仅当cos(245)=1,即=22.5时，s矩形mnpq的值最大且最大值为r2.工人师傅是这样选点的，记扇形为aob，以扇形一半径oa为一边，在扇形上作角aop且使aop=22.5，p为边与扇形弧的交点，自p作pnoa于n，pqoa交ob于q，并作omoa于m，则矩形mnpq为面积最大的矩形，面积最大值为r2.8.解：在上，1+sinx0和1sinx0恒成立，原函数可化为y=log2(1sin2x)=log2cos2x，又cosx0在上恒成立，原函数即是y=2log2cosx,在x上，cosx1.log2log2cosxlog21，即1y0，也就是在x上，ymax=0，ymin=1.综合上述知，存在符合题设.【三角函数的图象与性质练习2】一、选择题1下列有关三角函数增减性的判断，正确的是 （ b ） （a）在0，上是增函数。 （b）在0，上是减函数。 （c）在内是减函数。 （d）在内是减函数。2在区间上， （ d ） （a）是增函数，且是减函数 （b）是减函数，且是增函数 （c）是增函数，且是增函数 （d）是减函数，且是减函数3设是r上以2为周期的奇函数，已知当时，则在（1，2）上 （ a ） （a）是增函数且 （b）是增函数且 （c）是减函数且 （d）是减函数且解：当时，当时，是增函数且4函数的最小正周期为1，则 （ d ） （a）1 （b）2 （c） （d）5函数的最小正周期与最大值分别为 （ a ） （a），y最大=+1 （b），y最大=+1 （c），y最大=3 （d），y最大=86函数的 （ a ） （a）周期为最小值为 （b）周期为最小值为-1 （c）周期为最大值为 （d）周期为最大值为17给出函数：；，其中最小正周期为的函数是 （ d ） （a） （b）， （c）， （d），8函数 （ d ） （a）是奇函数而不是偶函数 （b）是偶函数而不是奇函数 （c）既不是奇函数又不是偶函数 （d）既是奇函数又是偶函数9函数是偶函数的充要条件是 （ b ） （a） （b） （c） （d）10要得到函数的图象，只要把函数的图象 （ d ） （a）向左平移个单位 （b）向右平移个单位 （c）向左平移个单位 （d）向右平移个单位11下列命题中正确的是 （ d ） （a）函数的单调区间是 （b）若，则的最大值是 （c）函数的最小正周期为 （d）函数的图象关于轴对称，则12函数y=的最小正周期是（ b ） a b c d213函数的最小正周期t=1，则正实数k的值等于（ c ）(a)0 (b)1 (c) (d) 1、若，则的取值范围是（d）a bc d2设函数y=asin(x+) (a0, 0) 在x=时取最大值a，在x=时取最大值a，在x=时，取最小值a，则x=时，函数y的值（ c ） a仅与有关 b仅与有 c等于零 d与，均有关3函数的最大值是（ c ） a. b. c. d. 二、填空题1、函数的最小值等于并使函数y 取最小值的x的集合为；2、若函数的图象关于直线对称，则1函数的值域为3、已知函数4函数的最大值是 。5、函数的最小值是三、解答题1已知扇形oab的圆心角，半径为r，在弧ab上有一点p，作pqoa交ob于q，求dpoq面积的最大值。解：设在dopq中，正弦定理当解二：从点q作qmop于m，设，为锐角，2、在abc中，已知。(1)求证：sina+sinc=2sinb；(2)求的取值范围。解：（1