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文档简介
2014高三数学知识点精析精练13:不等式的解法【复习要点】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题:(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法.(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论.【例题】【例1】 解不等式:解:原不等式可化为:0,即(a1)x+(2a)(x2)0.当a1时,原不等式与(x)(x2)0同解.若2,即0a1时,原不等式无解;若2,即a0或a1,于是a1时原不等式的解为(,)(2,+).当a1时,若a0,解集为(,2);若0a1,解集为(2,)综上所述:当a1时解集为(,)(2,+);当0a1时,解集为(2,);当a=0时,解集为;当a0时,解集为(,2).【例2】 设不等式x22ax+a+20的解集为m,如果m1,4,求实数a的取值范围.解:m1,4有n种情况:其一是m=,此时0;其二是m,此时0,分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2 2ax+a+2,有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时,1a2,m=1,4(2)当=0时,a=1或2.当a=1时m=11,4;当a=2时,m=21,4.(3)当0时,a1或a2.设方程f(x)=0的两根x1,x2,且x1x2,那么m=x1,x2,m1,41x1x24即,解得:2a,m1,4时,a的取值范围是(1,).【例3】 解关于x的不等式:解:原不等式等价于 ,即.由于,所以,所以,上述不等式等价于 解答这个含参数的不等式组,必然需要分类讨论,此时,分类的标准的确定就成了解答的关键如何确定这一标准?(1)当时,不等式组等价于此时,由于,所以 从而 (2)当时,不等式组等价于所以 (3)当时,不等式组等价于此时,由于,所以,综上可知:当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为【例4】 解关于的不等式:解:原不等式等价于,当时,原不等式的解集为当时,原不等式的解集为【例5】 设函数,(1)当时,解不等式;(2)求的取值范围,使得函数在上为单调函数讲解:(1)时,可化为:,等价于: 或 解得 ,解得 所以,原不等式的解集为 (2)任取,且,则要使函数在上为单调函数,需且只需:恒成立,(或恒成立)因此,只要求出在条件“,且”之下的最大、最小值即可为了探求这个代数式的最值,我们可以考虑极端情况,如:,容易知道,此时;若考虑,则不难看出,此时,至此我们可以看出:要使得函数为单调函数,只需事实上,当时,由于恒成立,所以,所以,在条件“,且”之下,必有:所以,在区间上单调递减当时,由(1)可以看出:特例的情况下,存在由此可以猜想:函数在区间上不是单调函数为了说明这一点,只需找到,使得即可简便起见,不妨取,此时,可求得,也即:,所以,在区间上不是单调函数另解:,对,易知:当时,;当时,;所以当时,从而只须,必有,函数在上单调递减。【例6】 已知f(x)是定义在1,1上的奇函数,且f(1)=1,若m、n1,1,m+n0时0.(1)用定义证明f(x)在1,1上是增函数;(2)解不等式:f(x+)f();(3)若f(x)t22at+1对所有x1,1,a1,1恒成立,求实数t的取值范围.解:(1)证明:任取x1x2,且x1,x21,1,则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21,x1+(x2)0,由已知0,又 x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x)在1,1上为增函数.(2)解:f(x)在1,1上为增函数, 解得:x|x1,xr(3)解:由(1)可知f(x)在1,1上为增函数,且f(1)=1,故对x1,1,恒有f(x)1,所以要f(x)t22at+1对所有x1,1,a1,1恒成立,即要t22at+11成立,故t22at0,记g(a)=t22at,对a1,1,g(a)0,只需g(a)在1,1上的最小值大于等于0,g(1)0,g(1)0,解得,t2或t=0或t2.t的取值范围是:t|t2或t=0或t2.【例7】 给出一个不等式(xr)。经验证:当c=1, 2, 3时,对于x取一切实数,不等式都成立。试问:当c取任何正数时,不等式对任何实数x是否都成立?若能成立,请给出证明;若不成立,请求出c的取值范围,使不等式对任何实数x都能成立。解:令f(x)=,设u=(u) 则f(x)= (u)f(x) 要使不等式成立,即f(x)0u0 只须u10u2c1 u2 x2+cx2c 故当c=时,原不等式不是对一切实数x都成立,即原不等式对一切实数x不都成立 要使原不等式对一切实数x都成立,即使x2c对一切实数都成立。x20 故c0c1(c0) c1时,原不等式对一切实数x都能成立。【不等式的解法练习1】1不等式的解集是 ( d ) (a) (b) (c) (d)2当时,不等式恒成立,则 的取值范围是( b ) (a) (b)(1,2) (c) (d)(0,1)3不等式成立的一个充分但不必要条件是 ( b ) (a) (b) (c) (d)4三个数的大小关系是 ( b ) (a) (b) (c) (d)5若全集是( b )abcd6下列命题中,正确的是( c )a若b若c若d若7若是任意实数,且,则( d )abcd8设,则下列四数中最大的是( a )abcd9不等式恒成立,则的取值范围为( d )abcd10不等式的解集是( b )abcd11当 成立的充要条件是( c )abcd12已知,那么的最小值是( b )a6bcd13不等式组的解集是( d )abcd 14不等式的解集是( c )abcd15的大小顺序是16若,则的取值范围是。17不等式的解集是18关于的不等式的解集是空集,那么的取值区间是0,419. 解不等式:解: a+a=(a2+)ax,变形原不等式,得 a (1) 当0 a 1时,a,则a2 ax a-2,-2 x 1时,a,则a-2 ax a2,-2x2 (3) 当a=1时,a,无解。 综上,当a1时,-2 x 2,当a=1时无解。20对于x,关于x的不等式0,a+x1,lg(a+x)0 有lg2axlg(a+x),2axa+x (2a-1)x时,x,由1x2时x2,a (2)a=时,有0x 1x2时不等式总成立 (3)0a,由1x2时x总成立,得a1,综合0a,得0a 综上,0a21、已知函数(1)求函数的定义域;(2)判断的单调性,并用函数单调性的定义予以证明解:(1)由或,故的定义域为(2)任取令,则=,故又函数在上是减函数,所以有,即,即在上是增函数22解不等式解:由且,得,原不等式等价于 而;整理,为所求。【不等式的解法练习2】一、选择题1设函数f(x)=,已知f(a)1,则a的取值范围是( )a.(,2)(,+)b.(,)c.(,2)(,1)d.(2,)(1,+)二、填空题2已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)0的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(,),则f(x)g(x)0的解集是_.3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解,则a的取值范围是_.三、解答题4已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3.(1)求p的值;(2)若f(x)=,解关于x的不等式f-1(x)(kr+)5设f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=,问是否存在a、b、cr,使得不等式:x2+f(x)2x2+2x+对一切实数x都成立,证明你的结论.6已知函数f(x)=x2+px+q,对于任意r,有f(sin)0,且f(sin+2)2.(1)求p、q之间的关系式;(2)求p的取值范围;(3)如果f(sin+2)的最大值是14,求p的值.并求此时f(sin)的最小值.7解不等式loga(1)18设函数f(x)=ax满足条件:当x(,0)时,f(x)1;当x(0,1时,不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立,求实数m的取值范围.不等式的解法练习2参考答案一、1.解析:由f(x)及f(a)1可得: 或 或 解得a2,解得a1,解得xa的取值范围是(,2)(,1)答案:c二、2.解析:由已知ba2f(x),g(x)均为奇函数,f(x)0的解集是(b,a2),g(x)0的解集是().由f(x)g(x)0可得: x(a2,)(,a2)答案:(a2,)(,a2)3.解析:原方程可化为cos2x2cosxa1=0,令t=cosx,得t22ta1=0,原问题转化为方程t22ta1=0在1,1上至少有一个实根.令f(t)=t22ta1,对称轴t=1,画图象分析可得解得a2,2.答案:2,2三、4.解:(1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3,x30,|x3|=3x.若|x24x+p|=x2+4xp,则原不等式为x23x+p+20,其解集不可能为x|x3的子集,|x24x+p|=x24x+p.原不等式为x24x+p+3x0,即x25x+p20,令x25x+p2=(x3)(xm),可得m=2,p=8.(2)f(x)=,f-1(x)=log8 (1x1,有log8log8,log8(1x)log8k,1xk,x1k.1x1,kr+,当0k2时,原不等式解集为x|1kx1;当k2时,原不等式的解集为x|1x1.5.解:由f(1)=得a+b+c=,令x2+=2x2+2x+xx=1,由f(x)2x2+2x+推得f(1).由f(x)x2+推得f(1),f(1)=,ab+c=,故2(a+c)=5,a+c=且b=1,f(x)=ax2+x+(a).依题意:ax2+x+(a)x2+对一切xr成立,a1且=14(a1)(2a)0,得(2a3)20,f(x)=x2+x+1易验证:x2+x+12x2+2x+对xr都成立.存在实数a=,b=1,c=1,使得不等式:x2+f(x)2x2+2x+对一切xr都成立.6.解:(1)1sin1,1sin+23,即当x1,1时,f(x)0,当x1,3时,f(x)0,当x=1时f(x)=0.1+p+q=0,q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p),当sin=1时f(1)0,1p1p0,p0(3)注意到f(x)在1,3上递增,x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14,9+3p1p=14,p=3.此时,f(x)=x2+3x4,即求x1,1时f(x)的最小值.又f(x)=(x+)2,显然此函数在1,1上递增.当x=1时f(x)有最小值f(1)=134=6.7.解:(1)当a1时,原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0,所以x0,x0.(2)当0a1时,原不等式等价于不等式组: 由 得x1或x0,由得0 x,1x.综上,当a1时,不等式的解集是x|x0,当0a
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