高三数学 知识点精析精练31 三角函数.doc

2014高三数学知识点精析精练31：三角函数近几年来，特别是使用了新教材后，高考试题中的三角函数试题的难度有所降低，无论是选择题、填空题，还是解答题，都是以中低档的形式为主。考查内容主要包括三角函数的求值、三角函数的图象和性质以及解三角形等。高考对复数的考查也降低了难度，试题一般均为选择题或是填空题，主要考查复数的概念和运算，在解答题中要注重复数与三角知识的综合题。一、三角函数的求值【例1】 已知是第三象限角，且sin4+cos4=，那么sin2等于a、b、c、d、解：因为sin4+cos4=(sin2+cos2)22sin2cos2= 1sin22=,所以sin22=.又是第三象限角，故4k+220，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得，所以；(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。【例29】 已知函数，(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；(2)判断函数奇偶性。解：(1)，定义域：，值域为：r，最小正周期为；(2) ，且定义域关于原点对称，所以为奇函数。【例30】 已知，求的最值。解：，令，则有，所以，因为，则当时，当时，。【例31】 设函数已知函数的最小正周期相同，且，(1)试确定的解析式；(2)求函数的单调增区间。解：，由函数的最小正周期相同，有，即a=2m，又，即，把a=2m代入上式，得，所以有，所以或，若，则有这与矛盾，若，则有，于是有，又，所以，所以；(2)由，所以，函数的单调递增区间为。【例32】 已知函数，若函数的最大值为3，求实数m的值。解：，令，则函数变为，分类讨论如下：(1)当时，在t=1时，；(2)当时，在t=1时，；综上所述，。【练习】1已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，(1)求 的解析式；(2)求的单调递增区间。解：(1) ，由题意，当时，不是最小值。当时，是最小值。所以；(2)当，即时，函数单调递增。2已知定义在r上的函数的最小正周期为，。(1)写出函数 的解析式；(2)写出函数 的单调递增区间；(3)说明的图像如何由函数的图像变换而来。解：(1) ，由题意，代入，有，所以；(2) 当，函数单调增；(3) 将函数的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。3已知，求的最值。解：因为，即，原函数化为，当时，当时，。4就三角函数的性质，除定义域外，请再写出三条。解：a. 奇偶性：非奇非偶函数；b. 单调性：在上为单调增函数， 在上为单调减函数；c. 周期性：最小正周期；d. 值域与最值：值域，当时，取最小值， 当时，取最大值；e.对称性：对称轴，对称中心。5已知函数，求得取值范围，使函数在区间上是单调函数。解：，所以的图像的对称轴为，因为函数在区间上是单调函数，所以，即，又因为，所以得取值范围是。6已知函数，(1)判断函数的奇偶性；(2)证明是函数的一个周期。解：(1)定义域，所以函数为偶函数；(2)，所以，所以，所以是函数的一个周期。7已知，求的值。解：由(1)，所以，因为，所以，所以(2)，联立(1)(2)解得，所以。8函数的图像一部分如图所示，(1)求此函数解析式；(2)将(1)中的函数图像如何变化才能得到函数图像。解：(1) 依题意知，xy26将点代入 得，又 ，所以，所求函数解析式为；(2)先把函数的图像横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)， 得函数的图像，再把函数上所有点向右平移单位得到函数的图像，最后将的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，(横坐标不变)，得到函数图像。三、三角形中的问题在这类问题中，可能用到的定理有：内角和定理、正余弦定理及大边对大角等，解题时要注意角的取值范围。例1、（2000年春季）在abc中，角a、b、c的对边分别是a、b、c，证明：.分析：注意所证等式的一边是关于边的式子，另一边是关于角的式子，证明的关键是边角互化。证法一：由余弦定理,有a2=b2+c22bccosa, b2=c2+a22cacosb,两式相减，得：a2b2=b2a22bccosa+2cacosb，即a2b2=cacosbbccosa.由正弦定理：,所以：=。证法二：由正弦定理：,。由余弦定理，得：所以，=。y=argz(0)的最大值为arctan,此时=arctan。例2在中，角a、b、c满足的方程的两根之和为两根之积的一半，试判断的形状。解：由条件可知，即，因为，所以，即，所以，所以a=b，即为等腰三角形。例3在中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若，求角c的值。解：，所以，所以，所以，又，所以，即，得，所以。例4在中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面积。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因为，所以，因为，所以，又，所以。(2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面积为。例5在中，a、b、c满足，求的值。解：由，且，所以，所以。例6在中，a、b、c满足，(1)用表示； (2)求角b的取值范围。解：(1) 因为，所以，由，得(1)，易知，若，则，所以，不合题意，若，则，不合题意，对(1)式两边同除以得，；(2)因为c为的一个内角，所以，则由，知异号，若，则a为钝角，b为锐角，此时，因为，不合题意；若，则b为钝角， a为锐角，则，因为a为锐角，所以，所以，所以。例7已知a、b、c是的三个内角，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。证明：因为a、b、c是的三个内角，所以，因此任意交换两个角的位置，y的值不变。【练习】1在中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且， (1) 求角b的大小；(2)若，求a的值。解：(1)由正弦定理，条件可化成，即，因为，所以，所以，因为，所以，b为三角形内角，所以；(也可以用余弦定理进行角化边完成)(2)将，代入余弦定理，得，整理得，解得。2在中，且，判断三角形形状。解：因为，则，则，又因为，所以，所以，若，则，无意义，所以，三角形为正三角形。3在中，已知a、b、c成等差数列，求的值。解：因为a、b、c成等差数列，则，所以。4在中，求的值和三角形面积。解：由，因为，所以，又因为，四、与向量有关的三角问题例1已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因为所以又因为，所以，即；(2) ，又因为，所以 ，所以，所以。例2已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值。解：(1)，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)导数00+极大值递减极小值递增而所以。例3已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。解：(1) ，由周期为且最大值为1，所以由，所以；(2)由(1)知，令，解得对称轴方成为，所以是的对称轴。例4已知向量，定义函数。(1)求函数 的最小正周期；(2)确定函数的单调区间。解：(1)，所以，所以最小正周期为；(2)令，而在区间上单调递增， 在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减。例5已知，(1)求；(2)设，且已知，求。解：(1)由已知，即，所以，由余弦定理；(2)由(1)，所以如果则，所以此时。例6已知向量，的夹角为，的夹角为，且，求的值。解：，所以，所以，所以，而，又因为，所以，又，所以，又因为，所以，所以。【练习】1已知0为坐标原点，是常数)，若，(1)求y关于x的函数解析式；(2)若时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。解：(1)，所以；(2)令时，f(