高三数学一轮复习 第二章 函数 第四节 二次函数与幂函数课件 文.ppt

文数课标版 第四节二次函数与幂函数 1 二次函数 1 二次函数的定义形如 f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数的三种表示形式 i 一般式 f x ax2 bx c a 0 教材研读 ii 顶点式 f x a x m 2 n a 0 iii 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 2 幂函数 1 幂函数的定义形如 y x 的函数称为幂函数 其中x是 自变量 为 常数 2 五种常见幂函数的图象 3 幂函数的性质 i 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 0 0 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 ii 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 4 五种常见幂函数的性质 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 二次函数y ax2 bx c a 0 x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c a 0 x r不可能是偶函数 3 在y ax2 bx c a 0 中 a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小 4 函数y 2是幂函数 5 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 6 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 1 已知幂函数y f x 的图象经过点 则f 2 a b 4c d 答案c设f x x 图象过点 f 4 4 解得 f 2 故选c 2 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图象如图 则a b c d的大小关系是 a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c答案b根据幂函数的性质及图象知选b 3 已知函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 则a的取值范围是 a b c d 答案c 函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 解之得a 4 已知f x 4x2 mx 5在 2 上是增函数 则实数m的取值范围是 答案 16 解析因为函数f x 4x2 mx 5的单调递增区间为 所以 2 即m 16 5 若函数y x2 3x 4的定义域为 0 m 值域为 则m的取值范围是 答案 解析令f x y x2 3x 4 x 0 m 二次函数f x x2 3x 4图象的对称轴为直线x 且f f 3 f 0 4 结合图象得m 考点一幂函数的图象与性质典例1 1 幂函数y f x 的图象过点 4 2 则幂函数y f x 的图象是 2 当0 x 1时 f x x1 1 g x x0 9 h x x 2的大小关系是 考点突破 答案 1 c 2 h x g x f x 解析 1 设幂函数的解析式为y f x xa 幂函数y f x 的图象过点 4 2 2 4a 解得a y f x 其定义域为 0 且是增函数 当0g x f x 规律总结 1 作幂函数的图象要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象 然后根据它的奇偶性可作出幂函数在定义域内完整的图象 2 利用幂函数的性质可处理比较大小问题 此类问题要根据待比较的数的特征 合理引入幂函数 通过幂函数的单调性进行比较 1 1已知函数f x m2 m 1 是幂函数 且x 0 时 f x 是增函数 则m的值为 a 1b 2c 1或2d 3答案b 函数f x m2 m 1 是幂函数 m2 m 1 1 解得m 1或m 2 又 函数f x 在 0 上为增函数 m2 m 3 0 m 2 1 2设a b c 则a b c的大小关系是 答案a c b解析 y x 0 为增函数 a c y x r 为减函数 b a c b 1 3若 a 1 3 2a 则实数a的取值范围是 答案解析易知函数y 的定义域为 0 在定义域内为增函数 所以解之得 1 a 考点二求二次函数的解析式典例2已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解析解法一 设f x ax2 bx c a 0 依题意有解之得 所求二次函数解析式为f x 4x2 4x 7 解法二 设f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 抛物线的对称轴为直线x m 又函数有最大值8 f x a 8 f 2 1 a 8 1 解之得a 4 f x 4 8 4x2 4x 7 解法三 依题意知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函数的最大值为8 8 解之得a 4 函数解析式为f x 4x2 4x 7 方法技巧求二次函数的解析式 一般用待定系数法 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式 一般选择规律如下 考点三二次函数的图象与性质命题角度一二次函数的图象典例3已知abc 0 则二次函数f x ax2 bx c的图象可能是 答案d解析a项 a0 c 0 而f 0 c0 b 0 又 abc 0 c0 故b错 c项 a 0 0 又 abc 0 c 0 而f 0 c0 0 b0 c 0 而f 0 c 0 故选d 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向下 且对称轴x 0 f x ax2 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 综上所述 f x min 命题角度三二次函数中恒成立问题典例5若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 若在区间 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 由f 0 1得c 1 f x ax2 bx 1 又f x 1 f x 2x a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x 即2ax a b 2x 因此 f x x2 x 1 2 f x 2x m等价于x2 x 1 2x m 即x2 3x 1 m 0 令g x x2 3x 1 m 要使g x x2 3x 1 m 0在 1 1 上恒成立 只需使函数g x x2 3x 1 m在 1 1 上的最小值大于0即可 g x x2 3x 1 m在 1 1 上单调递减 g x min g 1 m 1 由 m 1 0得m 1 因此满足条件的实数m的取值范围是 1 方法技巧1 确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号 它确定二次函数图象的开口方向 二是看对称轴和最值 它确定二次函数图象的具体位置 三是看函数图象上的一些特殊点 如函数图象与y轴的交点 与x轴的交点 函数图象的最高点或最低点等 从这三个方向入手 能准确地判断出二次函数的图象 反之 也可以从图象中得到如上信息 2 二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况 1 对称轴和区间都是给定的 2 对称轴动 区间固定 3 对称轴定 区间变动 解决这类问题的思路是抓住 三点一轴 进行数形结合 三点指的是区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解 对于 2 3 通常要分对称轴在区间内 区间外两大类情况进行讨论 3 1 2016安徽皖北第一次联考 已知函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 上的最大值为2 则a的值为 a 2b 1或 3c 2或 3d 1或2答案d函数f x x a 2 a2 a 1图象的对称轴为x a 且开口向下 分三种情况讨论如下 当a 0时 函数f x x2 2ax 1 a在区间 0 1 上是减函数 f x max f 0 1 a 由1 a 2 得a 1 当0 a