高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课件 苏教版必修4.ppt

第1章 1 3三角函数的图象和性质 1 3 1三角函数的周期性 1 了解周期函数 周期 最小正周期的定义 2 理解函数y sinx y cosx y tanx都是周期函数 都存在最小正周期 3 会求函数y asin x 及y acos x 的周期 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一周期函数的定义 答案 问题导学新知探究点点落实 思考单摆运动 时钟的圆周运动 四季变化等 都具有周期性变化的规律 对于正弦 余弦函数是否也具有周期性 请说明你的理由 答由单位圆中的三角函数线可知 正弦 余弦函数值的变化呈现出周期现象 每当角增加 或减少 2 所得角的终边与原来角的终边相同 故两角的正弦 余弦函数值也分别相同 即有sin 2 x sinx cos 2 x cosx 故正弦函数和余弦函数也具有周期性 1 周期函数的定义一般地 对于函数f x 如果存在一个t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 2 最小正周期对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个 那么这个最小的正数就叫做f x 的最小正周期 答案 非零的常数 f x t f x 最小的正数 知识点二正弦函数 余弦函数的周期 答案 思考6 是正弦函数y sinx x r 的一个周期吗 答是的 由sin 6 x sinx恒成立 根据周期函数的定义 可知6 是正弦函数y sinx x r 的一个周期 返回 类型一求三角函数的周期 题型探究重点难点个个击破 例1求下列函数的周期 解析答案 解析答案 3 y sinx 解由y sinx的周期为2 可猜想y sinx 的周期应为 验证 sin x sinx sinx 由周期函数的定义知y sinx 的周期是 反思与感悟 反思与感悟 解析答案 4 2 2 类型二函数周期性的判断 例2证明 定义在r上的奇函数f x 的图象有一条对称轴x a a 0 则f x 是周期函数 证明 f x 为奇函数 f x f x f x 的图象有一条对称轴x a a 0 f a x f a x f x f 2a x 由 可知 f 2a x f x 即f 2a x f x f 4a x f 2a 2a x f 2a x f x f x 为周期函数 4a为它的一个周期 解析答案 跟踪训练2已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且y f x 的图象关于直线x 2对称 证明f x 是周期函数 证明由已知f x f x f 2 x f 2 x 对任意x r恒成立 f x 4 f x 2 2 f 2 x 2 f x f x 故f x 是以4为周期的周期函数 解析答案 类型三函数周期性的综合应用 例3设函数f x x r 是以2为周期的函数 且x 0 2 时 f x x 1 2 1 求f 3 解 函数f x x r 是以2为周期的函数 且x 0 2 时 f x x 1 2 f 3 f 3 2 f 1 1 1 2 0 解析答案 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 反思与感悟 解 f x 的周期为2 当x 2 4 时有f x f x 2 又 x 2 0 2 f x 2 x 2 1 2 x 3 2 f x x 3 2 即x 2 4 时 f x x 3 2 解析答案 反思与感悟 1 解答此类题目的关键是利用化归思想 借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上 代入求解便可 2 如果一个函数是周期函数 倘若要研究该函数的有关性质 结合周期函数的定义可知 完全可以只研究该函数一个周期上的特征 再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质 返回 解析答案 1 2 3 1 下列说法中 正确的是 因为sin x sinx 所以 是函数y sinx的一个周期 因为tan 2 x tanx 所以2 是函数y tanx的最小正周期 达标检测 4 解析答案 解析根据周期函数的定义容易知道 均是错误的 同时 是正确的 对于 我们只能得出2 是函数y tanx的一个周期 但不是最小正周期 8 1 2 3 4 解析答案 3 定义在r上的函数f x 满足f x 4 f x 且当2 x 6时 f x 3 x 则f 1 1 2 3 4 解析答案 解析 f x 4 f x f 1 f 1 4 f 5 又当2 x 6时 f x 3 x f 5 3 5 2 f 1 2 2 1 2 3 4 解析答案 解方法一 定义法 1 2 3 4 即f x f x 方法二 公式法 1 2 3 4 解析答案 1 函数周期性的理解 1 对于 f x t f x 是定义域内的恒等式 即对定义域内任意一个x x t仍在定义域内且等式成立 2