高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课件 新人教A版选修45.ppt

2 基本不等式 自主预习 1 重要不等式定理1 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当 时 等号成立 a b 2 基本不等式 1 定理2 如果a b 0 那么 当且仅当 时 等号成立 a b 2 定理2的应用 对两个正实数x y 如果它们的和s是定值 则当且仅当 时 它们的积p取得最 值 如果它们的积p是定值 则当且仅当 时 它们的和s取得最 值 x y 大 x y 小 即时小测 1 已知x 3 则x 的最小值为 a 2b 4c 5d 7 解析 选d x 3 则当且仅当x 5时等号成立 2 设x y r 且xy x y 1 则 a x y 2 1 b xy 1c x y 1 2d xy 2 1 解析 选a 因为xy x y xy 所以xy 1 解得xy 3 又xy x y x y 2 x y x y 2 x y 1 解得x y 2 1 3 函数f x 的值域为 解析 f x 答案 知识探究 探究点基本不等式1 在基本不等式中 为什么要求a 0 b 0 提示 因为若a0 b 0 2 若f x x 则f x 的最小值为2吗 提示 f x 的最小值不是2 只有当x 0时 f x 的最小值才是2 归纳总结 1 理解基本不等式的两个关键点一是定理成立的条件是a b都是正数 二是等号取得的条件是当且仅当a b时 2 利用求最值的三个条件 1 各项或各因式为正 2 和或积为定值 3 各项或各因式能取得相等的值 3 定理1与定理2的不同点定理1的适用范围是a b r 定理2的适用范围是a 0 b 0 4 两个不等式定理的常见变形 1 ab 2 ab a 0 b 0 3 2 ab 0 4 5 a b 上述不等式中等号成立的充要条件均为a b 类型一利用基本不等式求最值 典例 1 2015 湖南高考 若实数a b满足 则ab的最小值为 a b 2c 2d 42 已知x 0 y 0 且x 2y xy 30 求x y的最大值 解题探究 1 如何利用条件 提示 根据可得a 0 b 0 然后借助基本不等式构造关于的不等式 2 如何利用 x 2y xy 30 这个条件 提示 由x 2y xy 30 得y 解析 1 选c 因为 所以a 0 b 0 由所以ab 2 当且仅当b 2a时取等号 所以ab的最小值为2 2 由x 2y xy 30 得y 0 x 30 所以x y 34 因为x 2 可得xy 18 当且仅当x 2 即x 6时 代入y 得y 3时 x y取最大值18 延伸探究 1 典例中题2若将条件 x 2y xy 30 改为 x 2y x y 其他条件不变 求x y的最小值 解题指南 将条件x 2y x y 变成然后再乘以x y 即可利用均值不等式求得 解析 由x 2y x y得 所以x y 当且仅当 结合得x 2 y 1 时 取最小值2 3 2 典例中题2条件不变 求x 2y的最小值 解题指南 利用x 2y x y 30 建立关于x 2y的不等式求最值 解析 由30 x 2y xy x 2y x 2y x 2y 即 x 2y 2 8 x 2y 240 0 x 2y 20 x 2y 12 0 所以x 2y 12或x 2y 20 舍 故x 2y的最小值为12 当且仅当x 6 y 3时取得 方法技巧 应用基本不等式求最值的方法与步骤 1 方法 二看一验证 一看式子能否出现和 或积 为定值 若不出现 需对式子变形 凑出需要的定值 二看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 验证利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不满足 则可通过函数单调性或导数解决 2 步骤 拓展延伸 利用基本不等式解决实际应用问题的方法利用不等式解决实际应用问题时 首先要仔细阅读题目 弄清要解决的实际问题 确定是求什么量的取值 其次 分析题目中给出的条件 建立y的函数表达式y f x 最后 利用不等式的有关知识解题 变式训练 1 2015 山东高考 定义运算 x y x y r xy 0 当x 0 y 0时 x y 2y x的最小值为 解题指南 本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法 解析 x 0 y 0时 x y 2y x 所以所求的最小值为 答案 2 为确保巴西世界杯总决赛的顺利进行 组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区 总面积为72m2 如图所示 要求矩形场地的一面利用体育场的外墙 其余三面用铁栏杆围 并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口 现已知铁栏杆的租用费用为100元 m 设该矩形区域的长为x 单位 m 租用铁栏杆的总费用为y 单位 元 1 将y表示为x的函数 2 试确定x 使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小 并求出最小费用 解析 1 依题意有 y 其中x 2 2 由基本不等式可得 y 当且仅当 x 即x 12时取 综上 当x 12时 租用此区域所用铁栏杆所需费用最小 最小费用为2200元 补偿训练 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间 一面可利用原有的墙 其他各面 不包括上盖和地面 用钢筋网围成 1 现有36m长的材料 每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使每间虎笼面积最大 2 若使每间虎笼面积为24m2 则每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小 解题指南 设每间虎笼长xm 宽ym 则问题 1 是在4x 6y 36的前提下求xy的最大值 而问题 2 则是在xy 24的前提下求4x 6y的最小值 使用基本不等式解决 解析 设每间虎笼长为xm 宽为ym 1 由条件得4x 6y 36 即2x 3y 18 设每间虎笼面积为s 则s xy 方法一 由于2x 3y 所以2 18 得xy 即s 当且仅当2x 3y时 等号成立 由故每间虎笼长为4 5m 宽为3m时 可使面积最大 方法二 由2x 3y 18 得x 9 y 因为x 0 所以00 所以s 当且仅当6 y y 即y 3时 等号成立 此时x 4 5 故每间虎笼长为4 5m 宽为3m时 可使面积最大 2 由条件知s xy 24 设钢筋网总长为l 则l 4x 6y 方法一 因为2x 3y 所以l 4x 6y 2 2x 3y 48 当且仅当2x 3y时 等号成立 由故每间虎笼长6m 宽4m时 可使钢筋网总长最小 方法二 由xy 24 得x 所以l 4x 6y 当且仅当 y 即y 4 y 4舍去 时 等号成立 此时x 6 故每间虎笼长6m 宽4m时 可使钢筋网总长最小 类型二利用基本不等式证明不等式 典例 已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 证明 1 a2 b2 c2 2 解题探究 典例中如何建立a2与a的不等关系 提示 由可建立a2与a的不等关系 证明 1 由相加得 a2 b2 c2 当且仅当a b c 时取等号 所以a2 b2 c2 2 由a 0 b 0 c 0 所以相加得 所以当且仅当a b c 时取等号 方法技巧 利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 1 方法 用基本不等式证明不等式时 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备基本不等式的结构和条件 然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明 2 技巧 对含条件的不等式的证明问题 要将条件与结论结合起来 寻找出变形的思路 构造出基本不等式 切忌两次使用基本不等式用传递性证明 有时等号不能同时取到 变式训练 1 已知a b都是正数 且a b 1 求证 证明 当且仅当即a b时 等号成立 故 2 已知a b c都是正数 且a b c 1 求证 证明 因为a b c都是正数 且a b c 1 当且仅当即a b c时 等号成立 所以 拓展类型利用基本不等式比较大小 典例 若a b 1 p lga lgb r lg 试比较p q r的大小关系 解析 因为a b 1 所以lga 0 lgb 0 所以p 又q lga lgb lg 而所以即q r 所以p q r 方法技巧 利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点 1 在应用基本不等式时 一定要注意其前提条件是否满足 即a 0 b 0 2 若问题中一端出现 和式 而另一端出现 积式 这便是应用基本不等式的 题眼 不妨运用基本不等式试试看 变式训练 1 已知f x lgx a b r 判断p g q的大小关系 解析 因为a 0 b 0 所以当且仅当a b时取等号 又函数f x lgx是增函数 所以p g q 2 已知a b c 比较的大小关系 解题指南 将表示成 用基本不等式比较大小 解析 因为a b c 所以a b 0 b c 0 所以当且仅当a b b c即2b a c时取等号 自我纠错正确运用基本不等式 典例 给出下面三个推导过程 1 因为a b 0 所以 2 因为x y 0 所以lgx lgy 3 因为a r a 0 所以其中正确的推导过程的序号为 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 错误