高中数学 第三章 推理与证明 3.4 反证法课件 北师大版选修12 (2).ppt

3 4反证法 一 反证法的定义1 先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出的结果与定义 公理 定理相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 2 反证法是一种间接证明的方法 二 反证法的证明步骤1 作出否定结论的假设 2 进行推理 导出矛盾 3 否定假设 肯定结论 名师点拨使用反证法证明数学问题的注意事项 1 用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾 从而证明原结论正确 否定结论时 对结论的反面出现的多种可能 要一一否定 不能遗漏 缺少任何一种可能 证明都是不完整的 2 反证法必须从否定的结论出发进行推理 且必须根据这一条件进行论证 仅否定结论 不从结论的反面出发进行的论证不是反证法 故反证法也叫归谬法 3 用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与公理 定理 定义 或是已证明了的结论矛盾 或是与公认的简单事实矛盾 但推出的矛盾必须是明显的 做一做1 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 假设正确的是 a 假设三个内角都不大于60 b 假设三个内角都大于60 c 假设三个内角至多有一个大于60 d 假设三个内角至多有两个大于60 解析 根据反证法的定义 假设应使命题的反面成立 而 三角形的内角中至少有一个不大于60 的反面是 三个内角都大于60 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 反证法是一种间接证明方法 否定结论时 一定要全面否定 2 反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾 3 使用反证法必须先否定结论 当结论的反面出现多种可能时 论证一种即可 答案 1 2 3 探究一 探究二 思维辨析 用反证法证明否定性命题 例1 已知三个正数a b c成等比数列 但不成等差数列 求证 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟1 对于结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题 此类命题的反面比较具体 适合用反证法证明 2 在证明否定性命题时 先通过假设原命题的反面成立 将原来的否定性命题转化为肯定性命题 再利用所学知识 找出矛盾 从而说明假设不成立 命题得证 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 用反证法证明 至多 至少 命题 思路分析 因为直接从条件推证 方向不明确 过程不可推测 所以可以采用反证法 证明 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 则a b c 0 x2 2x y2 2y z2 2z x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 这与a b c 0相矛盾 a b c中至少有一个大于0 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟1 对于结论中含有 至多 至少 等词语的命题 若直接从条件推证 则解题方向不明确 过程不可推测 不易证明 故可以考虑用反证法证明 2 常见的 结论词 与 反设词 如下表所示 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2证明关于x的方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 当a 或a 1时 至少有一个方程有实数根 探究一 探究二 思维辨析 否定结论不全面而致误 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得用反证法证题时 如果要证明的结论反面情况只有一种 那么只要将这种情况驳倒了就可以 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 探究一 探究二 思维辨析 跟踪训练求证 两条相交直线有且只有一个交点 证明 假设结论不成立 即有两种可能 无交点或至少有两个交点 设两条直线为a b 1 若a b无交点 则a b或a b是异面直线 与已知矛盾 2 若a b至少有两个交点a和b 这样同时经过a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上所述 两条相交直线有且只有一个交点 1 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中都是奇数或至少有两个偶数答案 d2 命题 关于x的方程ax b 0 a 0 有唯一解 的结论的否定是 a 无解b 有两解c 至少有两解d 无解或至少有两解解析 命题的否定是否定命题的结论 有