高中数学 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2.ppt

4 1 1圆的标准方程 4 1圆的方程 本节课主要学习圆的标准方程和点与圆的位置关系 本课件在复习直线的倾斜角 斜率的概念 斜率公式和直线的点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式方程和直线的一般式方程的基础上 以苏轼的著名诗词 水调歌头明月几时有 引入新课 场景处处刻画出圆 激起学生们对圆的研究热情 以学生探究为主 运用对直线的研究思路 从圆的定义入手推导出圆的标准方程 并用方程研究点与圆的位置关系 通过例1熟悉圆的标准方程和点与圆的位置关系 通过例2 例3探究圆的标准方程的求法 让学生体会待定系数法和代入法求圆方程 自古以来人们期盼花好月圆 祈求万事圆圆满满 圆是怎么定义的 直线的方程有五种不同的表示形式 那么如何求圆的方程呢 圆的标准方程 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合 定点 定长 圆心 半径 当圆心位置与半径大小确定后 圆就唯一确定了 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径 x y mc r 则 p m mc r 圆上所有点的集合 如图 在直角坐标系中 圆心c的位置用坐标 a b 表示 半径r的大小等于圆上任意点m x y 与圆心c a b 的距离 圆的标准方程 把称为圆心为a a b 半径长为r的圆的方程 把它叫做圆的标准方程 2 三个独立条件a b r确定一个圆的方程 1 特点 明确给出了圆心和半径 说明 特别地 若圆心为o 0 0 则圆的方程为 点与圆的位置关系 在平面几何中 如何确定点与圆的位置关系 o om r om r o m o om r m m 点m0 x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上 内 外的条件是什么 点m0在圆上 点m0在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 点m0在圆外 例1 写出圆心为 半径长等于5的圆的方程 并判断点 是否在这个圆上 解 圆心是 半径长等于5的圆的标准方程是 把的坐标代入方程左右两边相等 点的坐标适合圆的方程 所以点在这个圆上 把点的坐标代入此方程 左右两边不相等 点的坐标不适合圆的方程 所以点不在这个圆上 典例展示 解 由p1p2为直径可知圆心的坐标为 4 6 半径为 圆方程为 x 4 2 y 6 2 5 把m q两点坐标代入圆的方程 6 4 2 3 6 2 13 5 8 4 2 1 6 2 41 5 m q两点均在圆外 例2 的三个顶点的坐标分别a 5 1 b 7 3 c 2 8 求它的外接圆的方程 分析 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 三角形有唯一的外接圆 因为a 5 1 b 7 3 c 2 8 都在圆上 所以它们的坐标都满足方程 x y o d a 5 1 b 7 3 c 2 8 解 设圆方程为 则 所以 得 所以 所求圆的方程为 关键 确定圆心和半径 x y o d a 5 1 b 7 3 c 2 8 用待定系数法求圆方程的基本步骤 1 设圆方程 2 列方程组 3 求系数 4 代入系数写出方程 几何法 圆心 两条弦的中垂线的交点 半径 圆心到圆上一点 x y o d a 5 1 b 7 3 c 2 8 例3 已知圆心为c的圆经过点a 1 1 b 2 2 且圆心c在直线l x y 1 0上 求圆心为c的圆的标准方程 解 因为a 1 1 b 2 2 所以ab的中点 所以ab的垂直平分线的方程为 即 由 得 所以c 3 2 所以所求圆的标准方程为 练习2 根据下列条件 求圆的方程 1 圆心在点c 2 1 并过点a 2 2 2 圆心在点c 1 3 并与直线3x 4y 6 0相切 3 过点 0 1 和点 2 1 半径为 解 1 x 2 2 y 1 2 25 2 x 1 2 y 3 2 9 3 x 1 2 y 1 2 5 或 x 1 2 y 3 2 5 求圆的标准方程可分为两种 几何法和待定系数法 1 几何法它是利用图形的几何性质 如圆的性质等 直接求出圆的圆心和半径 代入圆的标准方程 从而得到圆的标准方程 常用的几何性质有 圆心与切点的连线垂直于切线 圆心到切点的距离等于圆的半径 圆的弦垂直平分线过圆心 两条弦的垂直平分线的交点为圆心等 2 待定系数法由三个独立条件得到三个方程 解方程组以得到圆的标准方程中三个参数 从而确定圆的标准方程 它