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文档简介

不完全归纳的作用在于发现规律 探求结论 但结论是否为真有待证明 因而数学中我们常用归纳 猜想 证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题 在使用数学归纳法证明时 一般说来 第一步验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 因此 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 p k 成立 是问题的条件 而 命题p k 1 成立 就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 下面简要分析一些常用技巧 1 分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式 从 p k 到 p k 1 常常可用分析综合法 4 学会借用同一题中已证明过的结论在从k到k 1的过程中 若仅仅利用已知条件 有时还是没有证题思路 这时考查同一题中已证明过的结论 看是否可借用 这种 借用 思想非常重要 一 选择题1 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 a n 1b n 2c n 3d n 4答案 c 答案 d 答案 a 4 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 第二步归纳假设应该写成 a 假设当n k k n 时 xk yk能被x y整除b 假设当n 2k k n 时 xk yk能被x y整除c 假设当n 2k 1 k n 时 xk yk能被x y整除d 假设当n 2k 1 k n 时 xk yk能被x y整除解析 第k个奇数应是n 2k 1 k n 答案 d 答案 2 6 若f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的递推关系式是f k 1 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 答案 f k 2k 1 2 2k 2 2 答案 cos 三 解答题9 在数列 an 中 a1 a2 1 当n n 时 满足an 2 an 1 an 且设bn a4n 求证 bn 各项均为3的倍数 证明 1 a1 a2 1 故a3 a1 a2 2 a4 a3 a2 3 b1 a4 3 当n 1时 b1能被3整除 2 假设n k时 即bk a4k是3的倍数 则n k 1时 bk 1 a4 k 1 a4k 4 a4k 3 a4k 2 a4k 2 a4k 1 a4k 1 a4k 3a4k 1 2a4k 由归纳假设 a4k是3的倍数 3a4k 1是3的倍数 故可
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