高考数学一轮总复习 2.9 函数模型及其应用教案 理 新人教A版.doc

2.9函数模型及其应用典例精析题型一运用指数模型求解【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？【解析】已知本金为a元，1期后的本利和为y1aara(1r)；2期后的本利和为y2a(1r)a(1r)ra(1r)2；3期后的本利和为y3a(1r)2a(1r)2ra(1r)3；x期后的本利和为ya(1r)x.将a10 000， r2.25%， x5代入上式得y10 000(12.25%)511 176.8，所以5期后的本利和是11 176.8元.【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为n，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为yn(1p)x.【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是()a.(1p)121b.(1p)12c.(1p)11d.12p【解析】今年十二月产值为a(1p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了(1p)121a，故选a.题型二分段函数建模求解【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：这种消费品的进价每件14元；该店月销售量q(百件)与销价p(元)关系如图；每月需各种开支2 000元.(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？【解析】设该店月利润额为l，则由假设得lq(p14)1003 6002 000，(1)当14p20时，由l0得18p20，当20p26时，由l0得20p22，故商店销售价应控制在18p22之内.(2)当18p20时，l最大450元，此时，p19.5元.当20p22时，l最大416元，此时，p20元.故p19.5元时，月利润最大余额为450元.(3)设可在n年内脱贫，依题意得12n45050 00058 0000，解得n20，即最少可望在20年后脱贫.【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义.【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则由y500知x4 000，所以x11%550x5 000，所以此人稿费为5 000元.题型三生活中的优化问题【例3】(2012湖北模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为c(x)，再由c(0)8得k40，因此c(x).而建造费用为c1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)206x6x(0x10).(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去).当0x5时，f(x)0；当5x10，f(x)0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由其他数据进一步判断.【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为x ，y.【解析】如图，由已知有，即4x5y1200，sxy(4x5y)()2180.所以x15，y12.总结提高利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增长变化规律.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函