高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《直线与圆、圆与圆的位置关系》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆t3，陕西t4等2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津t8等.归纳知识整合1直线与圆的位置关系设直线l：axbyc0(a2b20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解相外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解相内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解探究2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程自测牛刀小试1直线l：mxy1m0与圆c：x2(y1)25的位置关系是()a相交b相切c相离 d不确定解析：选a法一：圆心(0,1)到直线的距离d1.法二：直线mxy1m0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆c是相交的2(2012山东高考)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()a内切 b相交c外切 d相离解析：选b两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，之和为5，而15，所以两圆相交3已知p：“a”，q：“直线xy0与圆x2(ya)21相切”，则p是q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选aa，则直线xy0与圆x2(ya)21相切，反之，则有a.因此p是q的充分不必要条件4已知圆x2y24与圆x2y26x6y140关于直线l对称，则直线l的方程是()ax2y10 b2xy10cxy30 dxy30解析：选d法一：圆心o(0,0)，c(3，3)的中点p在直线l上，故可排除a、b、c.法二：两圆方程相减得，6x6y180，即xy30.5(2012重庆高考)设a，b为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|ab|()a1 b.c. d2解析：选d因为直线yx过圆x2y21的圆心(0,0)，所以所得弦长|ab|2.直线与圆、圆与圆的位置关系例1(1)(2012安徽高考)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()a3，1b1,3c3,1 d(，31，)(2)(2012江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_自主解答(1)因为直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，所以圆心到直线的距离dr，可得|a1|2，即a3,1(2)圆c方程可化为(x4)2y21，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线ykx2上至少存在一点(x0，kx02)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，因为两个圆有公共点，故2，整理得(k21)x2(84k)x160，此不等式有解的条件是(84k)264(k21)0，解之得0k，故最大值为.答案(1)c(2)判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解1直线l：y1k(x1)和圆x2y22y30的位置关系是_解析：将x2y22y30化为x2(y1)24.由于直线l过定点(1,1)，且由于12(11)210)，化简得x28y8.有关圆的弦长问题例2(1)(2012北京高考)直线yx被圆x2(y2)24截得的弦长为_(2)(2013济南模拟)已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆c所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_自主解答(1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d，圆的半径r2，所以弦长为l222.法二：代数法：联立直线和圆的方程消去y可得x22x0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2.(2)由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或a1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.答案(1)2(2)xy30求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2；(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|ab|x1x2|.3若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()a1或b1或3c2或6 d0或4解析：选d圆心(a,0)到直线xy2的距离d，则()2222，所以a0或a4.4已知圆c的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆c相交于a，b两点，且|ab|6，则圆c的方程为_解析：设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆c的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d22，因此圆c的方程是x2(y1)210.答案：x2(y1)210圆的切线问题例3已知圆c：x2y22x4y30.(1)若不过原点的直线l与圆c相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆c外一点p( x，y)向圆引一条切线，切点为m，o为坐标原点，且有|pm|po|，求点p的轨迹方程自主解答(1)将圆c配方得(x1)2(y2)22.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.故直线方程为xy10或xy30.(2)由于|pc|2|pm|2|cm|2|pm|2r2，|pm|2|pc|2r2.又|pm|po|，|pc|2r2|po|2，(x1)2(y2)22x2y2.2x4y30即为所求的方程若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程解：将圆c配方得(x1)2(y2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由直线与圆相切得y(2)x；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由直线与圆相切得xy10或xy30.综上可知，直线l的方程为 (2)xy0或(2)xy0或xy10或xy30. 求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程xx0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线5已知点m(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过m点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值解：(1)圆心c(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心c(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.故方程为y1(x3)，即3x4y50.故过m点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.2种方法解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算3个注意点直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错. 创新交汇直线与圆的综合应用问题1直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题2对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法典例(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆c上(1)求圆c的方程；(2)若圆c与直线xya0交于a，b两点，且oaob，求a的值解(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设圆c的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆c的半径为3.则圆c的方程为(x3)2(y1)29.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.从而x1x24a，x1x2.由于oaob，可得x1x2y1y20，又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1，满足0，故a1.1本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想2解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；(2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验1已知直线axby1(其中a，b是实数)与圆x2y21相交于a，b两点，o是坐标原点，且aob是直角三角形，则点p(a，b)与点m(0,1)之间的距离的最大值为()a.1b2c. d.1解析：选a直线axby1(其中a，b是实数)与圆x2y21相交于a，b两点，则依题意可知，aob是等腰直角三角形，坐标原点o到直线axby1的距离d，即2a2b22，a2(b)，则|pm|，当b时，|pm|max1.2在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即1，解得13c13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1圆(x1)2(y)21的切线方程中有一个是()axy0bxy0cx0 dy0解析：选c圆心为(1，)，半径为1，故x0与圆相切2已知直线l：yk(x1)与圆x2y21相切，则直线l的倾斜角为()a. b.c. d.解析：选d由题意知，1，得k，故直线l的倾斜角为.3(2012陕西高考)已知圆c：x2y24x0，l是过点p(3,0)的直线，则()al与c相交 bl与c相切cl与c相离 d以上三个选项均有可能解析：选a把点(3,0)代入圆的方程的左侧得3204330，解得k0，因此圆方程是(xa)2(ya)2a2，由圆过点(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，则该方程的两根分别是圆心c1，c2的横坐标，|c1c2|8.2(2012天津高考)设m，nr，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()a1，1 b(，1 1，)c22，22 d(，22 22，)解析：选d由题意可得1，化简得mnmn1，解得mn22或mn22.3已知o的方程是x2y220，o的方程是x2y28x100，由动点p向o与o所引的切线长相等，则动点p的轨迹方程是_解析：o的圆心为(0,0)，半径为，o的圆心为(4,0)，半径为，设点p为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2y22(x4)2y26，化简得