高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《数系的扩充与复数的引入》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2.了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.以选择题的形式考查复数的概念及其几何意义，如2012年北京t3，江西t5等2.以选择题或填空题的形式考查复数的代数运算，特别是除法运算，如2012年新课标全国t3，山东t1，浙江t2等.归纳知识整合1复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如abi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位若b0，则abi是实数，若b0，则abi是虚数，若a0且b0，则abi是纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dr)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dr)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|探究1.复数abi(a，br)为纯虚数的充要条件是a0吗？提示：不是，a0是abi(a，br)为纯虚数的必要条件，只有当a0，且b0时，abi才为纯虚数2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点z(a，b)与平面向量 (a，br)是一一对应的关系3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.探究2.z1、z2是复数，z1z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？提示：假命题例如：z11i，z22i，z1z230，但z1z2无意义，因为虚数无大小概念3若z1，z2r，zz0，则z1z20，此命题对z1，z2c还成立吗？提示：不一定成立比如z11，z2i满足zz0.但z10，z20.自测牛刀小试1(教材习题改编)复数z(2i)i在复平面内对应的点位于()a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选az(2i)i2ii212i故复数z(2i)i在复平面内对应的点为(1,2)，位于第一象限2(教材习题改编)复数的共轭复数是()ai bic.i di解析：选bi，其共轭复数为i.3(2012安徽高考)复数z满足(zi)i2i，则z()a1i b1ic13i d12i解析：选b设zabi，则(zi)ib1ai2i，由复数相等的概念可知，b12，a1，所以a1，b1.4已知bi(a，br)其中i为虚数单位，则ab_.解析：根据已知可得bi2aibi即从而ab1.答案：15设a是实数，且是实数，则a_.解析：为实数，故1a0，即a1.答案：1复数的有关概念例1(1)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()a2b2cd.(2)(2012江西高考)若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共扼复数，则z22的虚部为()a0 b1 c1 d2自主解答(1)若i为纯虚数，则故a2.(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虚部为0.答案(1)a(2)a若本例(1)中为实数，则a为何值？解：若i为实数，则0，即a. 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，br)的形式，以确定实部和虚部1(1)已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()a(1,5) b(1,3)c(1, ) d(1, )(2)设复数zabi(a，br)的共轭复数为abi，则z为()a实数 b纯虚数c0 d零或纯虚数解析：(1)选c由题意，zai，故|z|，0a2，1a215，从而1，即1|z|.(2)选dz(abi)(abi)2bi，当b0时，z为0；当b0时，z为纯虚数复数的几何意义例2(1)(2012北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为()a(1,3)b(3,1)c(1,3) d(3，1)(2)(2012东营模拟)若i为虚数单位，图中复平面内点z表示复数z，则表示复数的点是()ae bfcg dh自主解答(1)由13i得，该复数对应的点为(1,3)(2)依题意得z3i，2i，该复数对应的点的坐标是(2，1)答案(1)a(2)d复数所对应点的坐标的特点(1)实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上；(2)若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；(3)若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；(4)若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；(5)若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限；(6)此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式如：若复数z的对应点在直线x1上，则z1bi(br)；若复数z的对应点在直线yx上，则zaai(ar)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用2复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为a，b，c，若bac是钝角，求实数c的取值范围解：在复平面内三点坐标分别为a(3,4)，b(0,0)，c(c,2c6)，由bac是钝角得0，且a，b，c不共线，由(3，4)(c3,2c10).其中当c9时，(6,8)2，此时a，b，c三点共线，故c9.所以c的取值范围是.复数的运算例3(1)(2012山东高考)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()a35ib35ic35i d35i(2)(2012江苏高考)设a，br，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_自主解答(1)由题意知z35i.(2)53iabi，ab8.答案(1)a(2)8在本例(1)中，试求(1z)的值解：z35i，35i(1z)(45i)(35i)1220i15i25375i. 复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧3已知z1(3xy)(y4x)i(x，yr)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yr)设zz1z2，且z132i，求z1，z2.解：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i，又z132i，故解得于是，z1(321)(142)i59i，z2(422)(5231)i87i.1个分类复数的分类对复数zabi(a，br)，当b0时，z为实数；当b0时，z为虚数；当a0，b0时，z为纯虚数2个技巧复数的运算技巧(1)设zabi(a，br)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化3个结论复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nn*.创新交汇复数命题新动向1复数多以客观题的形式考查复数的概念及运算，也经常将复数的基本概念与基本运算相结合，复数幂的运算与复数除法相结合，复数的基本运算与复数的几何意义相结合，复数与方程相结合，复数与集合相结合等形成交汇命题2解决此类问题的关键是把握复数的有关概念，根据复数的运算法则准确进行化简运算典例(2011陕西高考)设集合my|y|cos2xsin2x|，xr，n，则mn为()a(0,1)b(0,1c0,1) d0,1解析对于集合m，函数y|cos2x|，其值域为0,1，所以m0,1根据复数模的计算方法得不等式 ，即x21，所以n(1,1)，则mn0,1)正确选项为c.答案c1本题具有以下创新点不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向2解决本题的关键有以下几点(1)弄清集合的元素集合m为函数的值域，集合n为不等式的解集，把m、n具体化(2)正确识别为复数的模，而非实数的绝对值1(2012上海高考)若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()ab2，c3 bb2，c3cb2，c1 db2，c1解析：选b由于1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个根，则(1i)2b(1i)c0，整理得(bc1)(2b)i0，则解得2已知定义在复数集c上的函数满足f(x)则f(f(1i)等于_解析：由已知得f(1i)|i|1，故f(1)1132，即f(f(1i)2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012陕西高考)设a，br，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选b复数aabi为纯虚数，则a0，b0；而ab0表示a0或者b0，故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件2(2012新课标全国卷)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1.其中的真命题为()ap1，p3 bp1，p2cp2，p4 dp3，p4解析：选c复数z1i，|z|，z2(1i)2(1i)22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，综上可知p2，p4是真命题3已知f(x)x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选af(1i)(1i)22i，则i，故对应点在第一象限4(2013临汾模拟)复数zi(i1)(i为虚数单位)的共轭复数是()a1i b1ic1i d1i解析：选azi(i1)1i，z的共轭复数是1i.5若(xi)iy2i，x，yr，则复数xyi()a2i b2ic12i d12i解析：选b由(xi)iy2i得xi1y2i.x，yr，x2，y1，故xyi2i.6若复数za21(a1)i(ar)是纯虚数，则的虚部为()a bic. d.i解析：选a由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012湖北高考)若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.解析：由abi，得a，b，解得b3，a0，所以ab3.答案：38i为虚数单位，_.解析：iiii0.答案：09已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是_解析：x为实数，x26x5和x2都是实数由题意，得解得即1x2.故x的取值范围是(1,2)答案：(1,2)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10计算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.11实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方解：(1)根据复数相等的充要条件得解之得m1.(2)根据共轭复数的定义得解之得m1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m22m150，解之得m3或m5.12复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150.解得a5或a3.分母a50，a5，故a3.1若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()a1b0c1 d1或1解析：选a由复数的概念，若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则x210，且x10，解得x1.2复数zai，ar，且z2i，则a的值为()a1b2c.d.解析：选cz22a2ai，又z2i，得a.3把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位若z1i，则(1z)等于()a3i b3ic13i d3解析：选a(1z)(11i)(1i)3i.4设平行四边形abcd在复平面内，a为原点，b、d两点对应的复数分别是32i和24i，则点c对应的复数是_解析：设ac与bd的交点为e，则e点坐标为，设点c坐标为(x，y)，则x5，y2，故点c对应复数为52i.答案：52i平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍：1“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21.在向量表达形式中，设点g是abc所在平面内的一点，则当点g是abc的重心时，有0或()(其中p为平面内任意一点)反之，若0，则点g是abc的重心在向量的坐标表示中，若g，a，b，c分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为g(x，y)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，则有x，y.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若h是abc的垂心，则或222222.反之，若，则h是abc的垂心(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点i是abc的内心，则有|0.反之，若|0，则点i是abc的内心(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达形式中，若点o是abc的外心，则()()()0或|.反之，若|，则点o是abc的外心2关于“四心”的典型例题例1已知o是平面上的一定点，a，b，c是平面上不共线的三个动点，若动点p满足()，(0，)，则点p的轨迹一定通过abc的_心解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是abc的中线所对应向量的2倍，所以点p的轨迹必过abc的重心答案重点评探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之例2已知abc内一点o满足关系230，试求sbocscoasaob 之值解延长ob至b1，使bb1ob，延长oc至c1，使cc12oc，连接ab1，ac1，b1c1，如图所示，则2，3，由条件，得0，所以点o是ab1c1的重心从而sb1oc1sc1oasaob1s，其中s表示ab1c1的面积，所以scoas，saobs，sbocsb1ocsb1oc1s.于是sbocscoasaob123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点o成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的