高考数学总复习 第3章导数及其应用单元检测 新人教A版.doc

第三章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题中只有一项符合题目要求)1若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则 ()af(x0)0bf(x0)0cf(x0)0df(x0)不存在答案b2三次函数yax3x在(，)内是减函数，则 ()aa0ba1ca2da答案a解析y3ax21，由y0，得3ax210.a0.3如果函数f(x)x4x2，那么f(i) ()a2ib2ic6id6i答案d解析因为f(x)4x32x，所以f(i)4i32i6i.4函数f(x)excosx的图像在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为 ()a0b.c1d.答案b解析f(x)(excosx)(ex)cosxex(cosx)excosxex(sinx)ex(cosxsinx)，则函数f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率ex(cosxsinx) e01，故切线的倾斜角为，故选b.5若函数f(x)cosx2xf()，则f()与f()的大小关系是 ()af()f()bf()f()cf()f()d不确定答案c解析依题意得f(x)sinx2f()，f()sin2f()，f()，f(x)sinx10.f(x)cosxx是r上的增函数，注意到，于是有f()2时，yxf(x)0，a0.f(x)a(x2)(x2)f(2)是极大值，f(2)是极小值，故选c.7家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间t内完成预期运输任务q0，各种方案的运输总量q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ()答案b解析由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项b满足条件，故选b.8(2012福建)如图所示，在边长为1的正方形oabc中任取一点p，则点p恰好取自阴影部分的概率为 ()a.b.c.d.答案c解析阴影部分的面积为(x)dx，故所求的概率p，故选c.9设ar，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 ()aln2bln2c.d.答案a解析f(x)exaex，这个函数是奇函数，故对任意实数x恒有f(x)f(x)，即exaexexaex.即(1a)(exex)0对任意实数x恒成立，故只能是a1.此时f(x)exex，设切点的横坐标为x0，则，即2 20，即0，只能是2，解得x0ln2.故选a.10已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1、x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是 ()a，3b，6c3,12d，12答案c解析f(x)3x24bxc，由题意，得f(1)2bc，当直线过点a时f(1)取最小值3，当直线过点b时取最大值12，故选c.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)lnx，则f(1)_.答案1解析f(x)2f(1)，令x1，得f(1)1.12已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数，则实数t的取值范围是_答案5，)解析f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt，由题意f(x)0在(1,1)上恒成立，则即解得t5.13已知曲线yx21在xx0处的切线与曲线y1x3在xx0处的切线互相平行，则x0的值为_答案0或解析y2x，y3x2，曲线yx21在xx0处的切线斜率k，曲线y1x3在xx0处的切线斜率为k，则2x03x，解得x00或x0.14函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析f(x)33x23(x1)(x1)，令f(x)0，得x11，x21.当x变化时，f(x)、f(x)变化情况如下表x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值2极大值2又由3xx32，得(x1)2(x2)0.x11，x22.f(x)在开区间(a212，a)上有最小值，最小值一定是极小值解得10)的图像所围成的阴影部分的面积为，则k_.答案3解析由得两曲线交点为(0,0)，(k，k2)则s(kxx2)dx，即k327，k3.16函数yx2cosx在区间0，上的最大值是_答案解析由y12sinx0，得x，x(0，)时，y0，x(，)，y0时，令f(x)0，得x1a，x2，f(x)与f(x)的情况如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)故f(x)的单调减区间是(，a)，(，)；单调增区间是(a，)当a0时，f(x)在(，a)，(，)单调递减；在(a，)单调递增a0时，f(x)在(0，)单调递增；在(，0)单调递减a0)，由得0x1.f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数函数f(x)的最大值为f(1)1.(2)g(x)x，g(x)1.由(1)知，x1是函数f(x)的极值点又函数f(x)与g(x)x有相同极值点，x1是函数g(x)的极值点g(1)1a0，解得a1.经检验，当a1时，函数g(x)取到极小值，符合题意f()2，f(1)1，f(3)92ln3，92ln321，即f(3)f()f(1)，x1，f(x1)minf(3)92ln3，f(x1)maxf(1)1.由知g(x)x，g(x)1.故g(x)在时，g(x)0.故g(x)在上为减函数，在(1,3上为增函数g()e，g(1)2，g(3)3，而2e，g(1)g()0，即k1时，对于x1，x2，不等式1恒成立k1f(x1)g(x2)maxkf(x1)g(x2)max1.f(x1)g(x2)f(1)g(1)123，k312，又k1，k1.当k10，即k1时，对于x1，x2，不等式1恒成立k1f(x1)g(x2)minkf(x1)g(x2)min1.f(x1)g(x2)f(3)g(3)92ln32ln3，k2ln3.又k1.(1)求证：函数f(x)f(x)g(x)在(0，)上单调递增；(2)若函数y3有四个零点，求b的取值范围；(3)若对于任意的x1，x21,1时，都有|f(x2)f(x1)|e22恒成立，求a的取值范围解析(1)f(x)f(x)g(x)axx2xlna，f(x)axlna2xlna(ax1)lna2x.a1，x0，ax10，lna0,2x0.当x(0，)时，f(x)0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递增(2)由(1)知当x(，0)时，f(x)4，即0，解得b2或2b0)，则h(x)10.h(x)在(0，)上单调递增a1，h(a)h(1)0，f(1)f(1)|f(x2)f(x1)|的最大值为|f(1)f(0)|alna.要使|f(x2)f(x1)|e22恒成立，只需alnae22即可令h(a)alna(a1)，h(a)10，所以h(a)在(1，)单调递增因为h(e2)e22，所以h(a)h(e2)，即1ae2.21(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex，其中ar.(1)是否存在实数a，使得函数yf(x)在r上单调递增？若存在，求出a的值或取值范围；否则，请说明理由(2)若a0，且函数yf(x)的极小值为e，求函数的极大值；(3)若a1时，不等式(mn)ef(x)(mn)e1在1,1上恒成立，求zm2n2的取值范围解析(1)f(x)(x2ax2a23a)ex，f(x)(x2ax2a23a)ex(2xa)exexx2(a2)x2a24a由f(x)0可得exx2(a2)x2a24a0.即x2(a2)x2a24a0在xr时恒成立(a2)24(2a24a)0，即(3a2)20，即a，此时，f(x)(x)2ex0，函数yf(x)在r上单调递增(2)由f(x)0可得exx2(a2)x2a24a0，解之得x12a，x2a2.当aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增由条件可知，f(2a)e，即3ae2ae，可得a.此时，f(x)(x2x2)ex，极大值为f(a2)f().(3)由(2)可知a1时，f(x)(x2x5)ex，函数f(x)在1,1上单调递减要使不等式(mn)ef(x)(mn)e1在1,1上恒成立，只需即故则点(m，n)在如图中所示的阴影部分所表示的平面区域内：zm2n2表示点(0,0)到(m，n)的距离的平方，最小值为点(0,0)到直线xy50的距离的平方()2，所以z的取值范围是，)22(本小题满分12分)已知函数f(x)aex，g(x)lnxlna，其中a为常数，e2.718，且函数yf(x)和yg(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行(1)求常数a的值；(2)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；(3)对于函数yf(x)和yg(x)公共定义域内的任意实数x0，我们把|f(x0)g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差求证：函数yf(x)和yg(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.解析(1)f(x)与坐标轴的交点为(0，a)，f(0)a，g(x)与坐标轴的交点为(a,0)，g(a).aa1，又a0，故a1.(2)可化为m0，ex1()ex1.故h(x)0.h(x)在(0，)上是减函数，因此h(x)0.h(x)在(0，)上是增函数故h(x)h(0)0，即ex1x.令m(x)lnxx1，则m(x)1.当x1时，m(x)0，当0x0.m(x)有最大值m(1)0，因此lnx1lnx1，即exlnx2.函数yf(x)和yg(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.1已知f(x)x(2 011lnx)，f(x0)2 012，则x0 ()ae2b1cln2de答案b解析由题意可知f(x)2 011lnxx2 012lnx.由f(x0)2 012，lnx00，解得x01.2已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0bf(x)0，g(x)0cf(x)0df(x)0，g(x)0答案b解析依题意得，函数f(x)、g(x)分别是偶函数、奇函数，当x0，f(x)f(x)0，g(x)g(x)0，选b.3已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案2解析记切点坐标为(m，n)，则有由此解得m1，a2.4已知函