高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《圆的方程》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏t12等.归纳知识整合1圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆(2)确定一个圆的要素是圆心和半径2圆的方程(1)标准方程两个条件：圆心(a，b)，半径r；标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程一般方程：x2y2dxeyf0；方程表示圆的充要条件为：d2e24f0；圆心坐标，半径r.探究1.方程x2y2dxeyf0一定表示圆吗？提示：不一定只有当d2e24f0时，上述方程才表示圆2如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：3点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内自测牛刀小试1(教材习题改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()a(2,3)b(2,3)c(2，3) d(2，3)解析：选d圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)2已知方程x2y22kx4y3k80表示一个圆，则实数k的取值范围是()a1k4 b4k1ck1 dk4解析：选d由(2k)2424(3k8)4(k23k4)0，解得k4.3若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()a1a1 b0a1c1a da1解析：选a点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，(2a)2a25，解得1a0)，则解得d4，e2，f5.所求圆的方程为x2y24x2y50.(2)根据题意可知圆心坐标为(1,0)，圆的半径长为，故所求圆c的方程为(x1)2y22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x1)2y22求圆的方程的两种方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量1求下列圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点p(3，2)；(2)过三点a(1,12)，b(7,10)，c(9,2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3.与y4x联立可得圆心为(1，4)，所以半径r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一：设圆的一般方程为x2y2dxeyf0.则解得d2，e4，f95，所以所求圆的方程为x2y22x4y950.法二：由a(1,12)，b(7,10)得ab的中点坐标为(4,11)，kab，则ab的中垂线方程为3xy10.同理得ac的中垂线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2y24x10，求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值自主解答(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.本例条件不变，求点p(x，y)到直线3x4y120的距离的最大值和最小值解：圆心(2,0)到直线3x4y120的距离为d，p(x，y)到直线3x4y120的距离的最大值为，最小值为. 与圆有关的最值问题及解题方法(1)形如u型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；(2)形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.2由方程x2y2x(m1)ym20所确定的圆中，最大面积是多少？解：由题意知，r2，所以当m1时，r，所以smaxr2.与圆有关的轨迹问题例3已知圆x2y24上一定点a(2,0)，b(1,1)为圆内一点，p，q为圆上的动点(1)求线段ap中点的轨迹方程；(2)若pbq90，求线段pq中点的轨迹方程自主解答(1)设ap的中点为m(x，y)，由中点坐标公式可知，p点坐标为(2x2,2y)因为p点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段ap中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设pq的中点为n(x，y)在rtpbq中，|pn|bn|，设o为坐标原点，连接on，则onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段pq中点的轨迹方程为x2y2xy10.求轨迹方程的一般步骤(1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)；(2)列式：列出几何等式；(3)坐标化：用坐标表示得到方程；(4)化简：化简几何等式得到的方程；(5)证明作答：除去不合题意的点，作答3如图，已知点a(1,0)与点b(1,0)，c是圆x2y21上的动点，连接bc并延长至d，使得|cd|bc|，求ac与od的交点p的轨迹方程解：设动点p(x，y)，由题意可知p是abd的重心由a(1,0)，b(1,0)，令动点c(x0，y0)，则d(2x01,2y0)，由重心坐标公式得，则代入x2y21，整理得，所求轨迹方程为2y2(y0)1种方法待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于d，e，f的方程组，进而求出d，e，f的值3个性质常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇高考中与圆有关的交汇问题1近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题2对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题典例(2011江苏高考)设集合a，b(x，y)|2mxy2m1，x，yr若ab，则实数m的取值范围是_解析由题意知a，则m2，即m0或m.因为ab，则有：(1)当2m12，即m2，即m1时，圆心(2,0)到直线xy2m的距离为d2|m|，化简得m24m20，解得2m2，所以10，b0)始终平分圆c：x2y28x2y10，则ab的最大值为()a4b2c1 d.解析：选c圆c的圆心坐标为(4，1)，则有4ab40，即4ab4.所以ab(4ab)221.当且仅当a，b2时取等号2如果点p在平面区域上，点q在曲线x2(y2)21上，那么|pq|的最小值为_解析：由点p在平面区域上，画出点p所在的平面区域由点q在圆x2(y2)21上，画出点q所在的圆，如图所示记q所在曲线的圆心为点m(0，2)，又(1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(1,0)与m的连线垂直于阴影区域的下边界因此，|pq|的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10的距离减去半径1.又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|pq|的最小值为1.答案：1一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1若直线2xya0与圆x2y22x4y0的相切，则a的值为()ab5c3 d3解析：选b圆的方程可变为(x1)2(y2)25，因为直线与圆相切，所以，即a5.2已知圆c：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值是()a8 b4c6 d无法确定解析：选c因为圆上两点a，b关于直线xy30对称，所以直线xy30过圆心，从而30，即m6.3已知两定点a(2,0)，b(1,0)，如果动点p满足|pa|2|pb|，则点p的轨迹所包围的图形的面积等于()a b4c8 d9解析：选b设p(x，y)，由题意知有，(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24.可知圆的面积为4.4(2012广州模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆o位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆o的方程是()a(x)2y25 b(x)2y25c(x5)2y25 d(x5)2y25解析：选d设圆心为(a,0)(a0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()ax2y2x2y0bx2y2x2y10cx2y2x2y10dx2y2x2y0解析：选d抛物线y22x(y0)的准线为x，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线yx(y0)上，与y22x(y0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2(y1)21，化简得x2y2x2y0.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2013开封模拟)若pq是圆o：x2y29的弦，pq的中点是m(1,2)，则直线pq的方程是_解析：由圆的几何性质知kpqkom1.kom2，kpq，故直线pq的方程为y2(x1)，即x2y50.答案：x2y508(2013金华十校联考)已知圆c的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点a、b，且ab，则该圆的标准方程是_解析：依题可设c：(x1)2(yb)21(b0)，且2b21，可解得b，所以c的标准方程为(x1)221.答案：(x1)2219定义：若平面点集a中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合a，则称a为一个开集，给出下列集合：；.其中是开集的是_(请写出所有符合条件的序号)解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合a应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知圆c和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，求圆c的方程解：因为圆c和直线x6y100相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6，其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y，即5x7y500上，则解得圆心为(3,5)，所以半径为(93)2(65)2，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.11已知以点p为圆心的圆经过点a(1,0)和b(3,4)，线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d，且|cd|4.(1)求直线cd的方程；(2)求圆p的方程解：(1)直线ab的斜率k1，ab的中点坐标为(1,2)，直线cd的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心p(a，b)则由p在cd上得ab30.又直径|cd|4，|pa|2.(a1)2b240.由解得或圆心p(3,6)或p(5，2)圆p的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12在直角坐标系xoy中，以o为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆o的方程；(2)圆o与x轴相交于a，b两点，圆内的动点p使|pa|，|po|，|pb|成等比数列，求的取值范围解：(1)依题设，圆o的半径r等于原点o到直线xy4的距离，即r2，所以圆o的方程为x2y24.(2)由(1)知a(2,0)，b(2,0)设p(x，y)，则|pa|，|po|，|pb|成等比数列得， x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)，由于点p在圆o内，故由此得y21，所以的取值范围为2,0)1一动圆与两圆x2y21和x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为()a圆b椭圆c双曲线的一支 d抛物线解析：选c设圆x2y21的圆心为o(0,0)，圆x2y28x120的圆心为o1(4,0)，o为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|oo1|oo|(r2)(r1)1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.2已知点m(1,0)是圆c：x2y24x2y0内的一点，那么过点m的最短弦所在直线的方程是_解析：过点m的最短的弦与cm垂直，圆c：x2y24x2y0的圆心为c(2,1)，kcm1，最短弦所在直线的方程为y01(x1)，即xy10.答案：xy103已知圆c：(x1)2y22，过点a(1,0)的直线l将圆c分成弧长之比为13的两段圆弧，则直线l的方程为_解析：设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，圆心c(1,0)到直线l的距离为，因为直线l将圆c分成弧长之比为13的两段圆弧，所以直线l被圆所截得的弦所对的圆心角为，又圆c的半径为，所以 cos，得k2，即k，故直线l的方程为y(x1)或y(x1)答案：