高考数学 核心考点大冲关 专题演练27 利用空间向量求解立体几何中的角与距离题库精选 新人教A版.doc

考点27利用空间向量求解立体几何中的角与距离（理）【考点分类】热点一 求角问题1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为a. b. c. d.2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知正四棱柱中，则cd与平面所成角的正弦值等于（ ）a b c d设，则,.3.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）（a） （b） （c） （d） 4.(2012年高考全国卷理科16)三菱柱abc-a1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等， baa1=caa1=60则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_.【答案】5.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在直三棱柱中，点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.，6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】如图，（i）求证：（ii）,所以二面角c-pb-a的余弦值为.7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】如图，直棱柱abc-中，d，e分别是ab，bb1的中点，=ac=cb=ab.（）证明： /平面；（）求二面角d-e的正弦值.所以二面角d-e的正弦值为.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】如图所示，在三棱锥中，平面，分别是的中点，与交于，与交于点，连接.（）求证：；（）求二面角的余弦值.，所以，令得 同理 ,因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，在四面体中，平面,.是的中点，是的中点，点在线段上，且.（）证明：平面;（）若二面角的大小为，求的大小.10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】如图5，在直棱柱（i）证明：；（ii）求直线所成角的正弦值.的一个法向量；因为，所以所以直线所成角的正弦值.11.【2013年全国高考新课标（i）理科】如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，ba a1=60.（）证明aba1c;abcc1a1b1zxyo（）若平面abc平面aa1b1b，ab=cb，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值.abcc1a1b112.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点. （）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（）设（）中的直线l与圆的另一个交点为，且点q满足. 记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：. 所以，从而. 13.(2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分15分)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为的菱形，且bad120，且pa平面abcd，pa，m，n分别为pb，pd的中点()证明：mn平面abcd；() 过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值对于平面amn：设其法向量为14.(2012年高考辽宁卷理科18) (本小题满分12分) 如图，直三棱柱，点m，n分别为和的中点. ()证明：平面; ()若二面角为直二面角，求的值.15.(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）在三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=ac=aa1=，bc=4，在a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.（1）证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；byocaeza11b1c1x（2）求平面与平面bb1c1c夹角的余弦值.得【方法总结】1利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同同时注意根据异面直线所成的角的范围(0，得出结论2利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)4利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角热点二 求距离问题16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】如图，在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中，e为bc的中点，点p在线段d1e上，点p到直线cc1的距离的最小值为 .17.(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为（ ）a2 b c d118.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥abc，点p，a，b，c都在半径为的求面上，若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为_.三棱锥abc在面abc上的高为，所以球心到截面abc的距离为.19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=2,ad=1,a1a=1，证明直线bc1平行于平面da1c，并求直线bc1到平面d1ac的距离.20.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】如图，四棱锥中，都是边长为的等边三角形.（i）证明：（ii）求点a到平面pcd的距离. 21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】如图，直四棱柱中，e为cd上一点，（1） 证明：be平面；（2） 求点到平面的距离.22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】如图，某地质队自水平地面a，b，c三处垂直向地下钻探，自a点向下钻到a1处发现矿藏，再继续下钻到a2处后下面已无矿，从而得到在a处正下方的矿层厚度为同样可得在b，c处正下方的矿层厚度分别为，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为（）证明：中截面是梯形；（）在abc中，记，bc边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与v的大小关系，并加以证明. 因此四边形、均是梯形.23.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，.()证明：丄；（）求二面角的正弦值；（）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.24.(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（）小问4分（）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，ab=4，ac=bc=3，d为ab的中点（）求点c到平面 的距离;（）若,求二面角 的平面角的余弦值.【方法总结】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作bh平面cmn于h.由及nn，得|n|n|n|，所以|，即d.热点三 折叠问题25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】.cobdeacdobe图1图2如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.cdoxe向量法图yzbcdobeh所以26.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）平面图形如图4所示，其中是矩形，.现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（）证明：； （）求的长；（）求二面角的余弦值.【考点剖析】一明确要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二命题方向利用向量法求空间角的大小是命题的热点着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力题型多为解答题，难度中档.三规律总结一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题 两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：abab；空间任意两个向量，共线的充要条件是存在，r使ab.若，不共线，则p，a，b三点共线的充要条件是且1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接” 四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习学生要特别注意共面向量的概念而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习三种成角(1)异面直线所成的角的范围是；(2)直线与平面所成角的范围是；(3)二面角的范围是0， 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点【考点模拟】一扎实基础1.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】 如图，e、f分别是三棱锥p-abc的棱ap、bc的中点，pc=10，ab=6，ef=7，则异面直线ab与pc所成的角为（ ）a. 90b. 60c. 45d. 30【答案】b【解析】,取ac的中点m,连结em,mf，因为e,f是中点，所以,所以mf与me所成的角即为ab与pc所成的角。在三角形mef中，所以,所以直线ab与pc所成的角为为，选b.2. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】在三棱锥中，底面是正三角形，、分别是侧棱、的中点若平面平面，则平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值等于nmcabp（a）（b）（c）（d）3. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】如图，三棱锥pabc中，平面abc，pa=2，是边长为的正三角形，点d是pb的中点，则异面直线pa与cd所成角的正切值为（ ）abcd4.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】在三棱锥pabc中，papb=pc=,侧棱pa与底面abc所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为 （a）(b) (c)4（d) 5.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】如图，设正方体的棱长为1，e、f分别是、的中点，则点a到平面efdb的距离为( )a b c d16. 【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 .7. 【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知abcd为正方形，点p为平面abcd外一点，二面角为，则点c到平面pab的距离为 abcda1b1c1d1e8. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，e为a1d1的中点，则be与平面bb1d1d所成角的正弦值为 。【答案】9.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】如图，在正方体中，e、f分别为cd、的中点，则异面直线ef与所成角的余弦值为 .【答案】【解析】连结，易证，可求得为等边三角形，与所成的角为，ef与所成的角为，直线ef与所成的角的余弦值为10.【浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考】已知正方形，平面，,，当变化时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 （第17题）【答案】 二能力拔高11. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】如图，是等腰直角三角形，其中，且 ，现将折起，使得二面角为直角，则下列叙述正确的是 ( )abcdabcd；平面的法向量与平面的法向量垂直；异面直线与所成的角为；直线与平面所成的角为；a b c c【答案】b【解析】易证，则，到此很容易证明正确，错误，而与所成的角余弦值为.13.【河北省保定市2013年高三第一次模拟考试】正方体abcd-a1b1c1 d1中，m为cc1的中点，p在底面abcd内运动，且满足dpd1cpm，则点p的轨迹为( ) a.圆的一部分 b.椭圆的一部分 c双曲线的一部分d.抛物线的一部分【答案】a【解析】由得,，在平面abcd内以d为原点建立平面直角坐标系adc，设dc=1，p（x,y），整理得，所以，轨迹为圆的一部分，故选a.14.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】（本小题满分12分）如图，在长方体中，是线段的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值d1c1b1a1abcdm，16. 【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】（本小题满分12分）如图，在长方体，中，点在棱ab上移动.（1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何值时，二面角的大小为.abcda1b1c1d1e17. 【浙江省嘉兴市2013届高三4月教学测试】如图，在中，点在上，交于，交于沿将翻折成，使平面平面；沿将翻折成，使平面平面（）求证：平面（）设，当为何值时，二面角的大小为？（第20题）化简得，解得15分18. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，ab=bc，q是ac上的点，ab1/平面bc1q ，（）确定点q在ac上的位置；（）若qc1与平面bb1c1c所成角的正弦值为，求二面角qbc1c的余弦值.abcqa1b1c1p(0，a，b)，(a，a，b)因qc1与面bc1c所成角的正弦值为，故，解得ba.8分设平面c1bq的法向量n(x，y，z)，则即取n(1，2)10分所以有cosm，n故二面角q-bc1-c的余弦值为12分19. 【江西省南昌市2013届二模考试】如图已知：菱形abef所在平面与直角梯形abcd所在平面互相垂直，ab=2ad=2cd=4，点h,g分别是线段ef,bc的中点. (1) 求证：平面ahc平面bce;(2) 点在直线上，且ef/平面afd，求平面ach与平面acm所成角的余弦值.20. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】（本题满分12分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，.（）若为中点，求证：平面；（）求平面与所成锐二面角的大小 ，所以平面与所成锐二面角为60.解法二：延长cb、da相交于g，连接pg，过点d作dhpg ，垂足为h，连结hc ，矩形pdce中pddc，而addc，pdad=d，cd平面pad cdpg，又cddh=d，三提升自我21. 【湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试】（本小题满分12分）如图，正方形adef与梯形abcd所在平面互相垂直，adcd，ab/cd，ab=ad=，点m在线段ec上且不与e、c垂合.（1）当点m是ec中点时，求证：bm/平面adef；（2）当平面bdm与平面abf所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥mbde的体积.（）以分别为轴建立空间直角坐标系22.【湖北省八校2013届高三第二次联考】（本小题满分12分）如左图，四边形中，是的中点，将左图沿直线折起，使得二面角为如右图.（1） 求证：平面（2） 求直线与平面所成角的余弦值. （1）取中点，连结,则（2分），由余弦定理知，（4分），又平面,平面; (6分)（2）以为原点建立如图示的空间直角坐标系，则,，（8分），设平面的法向量为,23.【2013年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试】如图，在四棱锥pabcd中，paad，abcd，cdad，ad = cd = 2ab = 2，e，f分别为pc，cd的中点，de = ec.（1）求证：平面abe平面bef；（2）设pa = a，若平面ebd与平面abcd所成锐二面角，求a的取值范围. ()，分别为的中点，为矩形， 2分,又面,面,平面平面 4分 () ,又，又,所以面, 6分法一：建系为轴，为轴，为轴,，, 平面法向量，平面法向量 9分 ，可得. 12分法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,24.【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，四边形abcd中，abad，abad4，cd，cda45.()求证：平面pab平面pad；()设abap() 若直线pb与平面pcd所成的角为30，求线段ab的长；() 在线段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理由解：解法一：()证明：因为pa平面abcd，ab平面abcd，所以paab，又abad，paada，所以ab平面pad，又ab平面pab，所以平面pab平面pad，3分()以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz(如图)在平面abcd内，作ceab交ad于点e，则cead.在rtcde中，decdcos451，cecdsin451.设abapt, 则b(t，0，0)，p(0，0，t)由abad4得ad4t，从而，在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等12分25.【北京市朝阳区高三年级第二次综合练习】如图，四边形adbcpefgh是正方形，平面， 分别为，的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的大小；（）在线段上是否存在一点,使直线与直线 所成的角为？若存在，求出线段的长；若 不存在，请说明理由.（）证明：因为,分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面. 4分（）因为平面，所以=.所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 9分（）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.依题意可设,其中.【考点预测】1.动点p在边长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的对角线bd1上从b向d1移动，点p作垂直于面bb1d1d的直线与正方体表面交于m、n，bp=x，mn=y，b1abcda1c1d1pa2b2c2d2mn图1bd1db1pd2xb2图3b2d2a2c2pmn图2nmp则函数y=f(x)的解析式为 若x，则mn=2 pd2=2=.2.已知圆柱底面半径为1，高为，abcd是圆柱的一个轴截面动点m从点b出发沿着圆柱的侧面到达点d，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示将轴截面abcd绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点p(1) 求曲线长度；(2) 当时，求点到平面apb的距离；(3) 是否存在，使得二面角的大小为？若存在，求出线段bp的长度；若不