高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《数学归纳法》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解数学归纳法的原理2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.与数列等知识相结合，以解答题的形式考查等式、不等式的证明，如2012年安徽t21等2.以解答题的形式考查“观察归纳猜想证明”的问题，如2012年湖北t22等.归纳知识整合1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立探究1.数学归纳法证题的基本原理是什么？提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”2用数学归纳法证明问题应该注意什么？提示：(1)第一步验证nn0时命题成立，这里的n0并不一定是1，它是使命题成立的最小正整数(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由k到k1时命题的变化情况(3)由假设nk时命题成立，证明nk1命题也成立时，要充分利用归纳假设，即要恰当地“凑”出目标2数学归纳法的框图表示自测牛刀小试1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步检验n等于()a1b2c3 d0解析：选cn3，第一步应检验n3.2用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()ak21b(k1)2c.d(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：选d当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.3利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nn*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()a2k1 b2(2k1)c. d.解析：选b当nk(kn*)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)4(教材习题改编)用数学归纳法证明11)，第一步要证的不等式是_解析：当n2时，左边11，右边2，故填12.答案：125记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形答案：用数学归纳法证明等式例1nn*，求证：1.自主解答(1)当n1时，左边1，右边.左边右边(2)假设nk时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nn*，等式成立用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明1求证：1222n2.证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立；(2)假设nk(kn*，且k1)时，等式成立，即1222k2，则当nk1时，1222k2(k1)2(k1)2，所以当nk1时，等式仍然成立由(1)、(2)可知，对于nn*等式恒成立用数学归纳法证明不等式例2已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nn*时，anan1.自主解答(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kn*，k1)时，0ak0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立根据(1)和(2)，可知anan1对任何nn*都成立把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nn*时，an1a2.(2)假设当nk(kn*，k1)时，ak1ak，aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nn*时，an10且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，证明：对任意的nn*，不等式成立解：(1)由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r.所以ansnsn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，故b，即b，解得r1.(2)证明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nn*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk(k1，kn*)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知，nn*时，不等式成立.“归纳猜想证明”问题例3已知f(n)1，g(n)，nn*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明自主解答(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)0(nn*)(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2)设x0，y0，且xy1，证明：.解(1)分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33.猜想：ann.由2snan，可知，当n2时，2sn1a(n1)，得2anaa1，即a2ana1.()当n2时，a2a2121，a20，a22.()假设当nk(k2)时，akk，那么当nk1时，a2ak1a12ak1k21ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.即当nk1时也成立ann(n2)显然n1时，也成立，故对于一切nn*，均有ann.(2)要证，只要证nx12ny12(n2)即n(xy)222(n2)，将xy1代入，得2n2，即只要证4(n2xyn1)(n2)2，即4xy1.x0，y0，且xy1，即xy，故4xy1成立，所以原不等式成立1在解答本题时有以下易误点(1)在代入n1,2,3时，不能准确求得a1，a2，a3，从而猜想不出an.(2)证明不等式时，不会应用xy1这一条件代换，导致无法证明不等式成立2解决数学归纳法中“归纳猜想证明”及不等式证明问题时，还有以下几点容易造成失分(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了利用假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法(3)不等式证明的过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论解：当n1时，即，所以a.(1)当n1时，已证得不等式成立(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即.则当nk1时，有.因为0，所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立，若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()ap(n)对所有正整数n都成立bp(n)对所有正偶数n都成立cp(n)对所有正奇数n都成立dp(n)对所有自然数n都成立解析：选b由题意nk时成立，则nk2时也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立2用数学归纳法证明“1aa2an1(a1)”，在验证n1时，左端计算所得的项为()a1b1ac1aa2 d1aa2a3解析：选c等式的左端为1aa2an1，当n1时，左端1aa2.3利用数学归纳法证明不等式1n21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_解析：当n1时，212,1212；当n2时，224，2215；当n3时，238,32110；当n4时，2416,42117；当n5时，2532,52126，满足2nn21.故n0应取5.答案：58对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根据上述分解规律，若n213519, m3(mn*)的分解中最小的数是21，则mn的值为_解析：依题意得 n2100, n10. 易知 m321m2, 整理得(m5)(m4)0, 又 mn*, 所以 m5, 所以mn15.答案：159若数列an的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_.解析：c12(1a1)2，c22(1a1)(1a2)2，c32(1a1)(1a2)(1a3)2，故由归纳推理得cn.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10用数学归纳法证明：123252(2n1)2n(4n21)证明：(1)当n1时，左边121，右边1(41)1，等式成立(2)假设当nk(kn*)时等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)则当nk1时，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(4k21)4k24k1k4(k1)21k4(2k1)4k24k1k4(k1)21(12k212k38k24k)k4(k1)214(k1)21(k1)4(k1)21即当nk1时等式也成立由(1)，(2)可知，对一切nn*，等式都成立11设0a1，定义a11a，an1a，求证：对任意nn*，有1an1，又a11a，显然命题成立(2)假设nk(kn*)时，命题成立，即1ak.即当nk1时，由递推公式，知ak1a，由假设可得(1a)aa1a.于是当nk1时，命题也成立，即1ak1.由(1)(2)可知，对任意nn*，有1an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.a11或a11(舍去)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2或a2(舍去)同理可得a3.由a1，a2，a3，猜想an(nn*)(2)证明：由(1)的计算过程知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kn*)时，通项公式成立，即ak.那么由ak1sk1sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得ak1，或ak1(舍去)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nn*，an都成立4用数学归纳法证明：12(nn*，n2)证明：(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.当nk1时，120恒成立f(x)min0；f(x)0恒成立f(x)max0.(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有(下面的a为参数)：f(x)f(x)max；f(x)g(a)恒成立g(a)0，得x1.且定义域为(0，)，所以函数f(x)的单调增区间是(1，)令f(x)0，得1x0.因而a(x1，e)令g(x)(x1，e)，又g(x)，当x1，e时，x10，ln x1，x22ln x0，从而g(x)0(当且仅当x1时取等号)所以g(x)在1，e上为增函数故g(x)maxg(e).所以a的取值范围是.点评利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题研究，一般有下面几种类型：1一次函数型问题：利用一次函数的图象特点求解对于一次函数f(x)kxb(k0)，xm，n，有(1)f(x)0恒成立(2)f(x)0对xr恒成立(2)f(x)a2k1，求c的取值范围解(1)由a11，a2ca1c233c2c(221)c2c，a3ca2c358c3c2(321)c3c2，a4ca3c4715c4c3(421)c4c3，归纳猜想an(n21)cncn1，nn*.下面用数学归纳法证明：当n1时，等式成立；假设当nk时，等式成立，即ak(k21)ckck1，则当nk1时，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck，综上，an(n21)cncn1对任何nn*都成立(2)由a2ka2k1，得(2k)21c2kc2k1(2k1)21c2k1c2k2，因c2k20，所以4(c2c)k24ckc2c10对kn*恒成立记f(x)4(c2c)x24cxc2c1，下面分三种情况讨论：当c2c0，即c0或c1时，代入验证可知只有c1满足要求当c2c0时