高考数学总复习 第9章解析几何单元检测 新人教A版.doc

第九章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题中只有一项符合题目要求)1(2012浙江)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案a解析由a1可得l1l2，反之，由l1l2可得a1或a2，故选a.2(2012湖北)过点p(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24|分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()axy20by10cxy0dx3y40答案a解析两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径因为过点p(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1，方程为xy20.3经过抛物线y24x的焦点且平行于直线3x2y0的直线l的方程是()a3x2y30b6x4y30c2x3y20d2x3y10答案a解析抛物线y24x的焦点是(1,0)，直线3x2y0的斜率是，直线l的方程是y(x1)，即3x2y30，故选a.4已知圆c的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆c相切，则圆c的方程为()ax2y22x30bx2y24x0cx2y22x30dx2y24x0答案d解析设圆心c(a,0)(a0)，由2得，a2，故圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.5(2012江西)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是a，b，左、右焦点分别是f1，f2.若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为()a.b.c.d.2答案b解析由等比中项的性质得到a，c的一个方程，再进一步转化为关于e的方程，解之即得所求依题意得|f1f2|2|af1|f1b|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，e.6(2012浙江)如图，中心均为原点o的双曲线与椭圆有公共焦点，m，n是双曲线的两顶点若m，o，n将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()a3b2c.d.答案b解析设焦点为f(c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，所以2.选b.7设f1、f2分别是双曲线x21的左、右焦点若点p在双曲线上，且0，则|等于()a.b2c.d2答案b解析f1(，0)，f2(，0)，2c2，2a2.0，|2|2|f1f2|24c240.()2|2|2240.|2.8过抛物线yx2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为m，n，则直线mn过定点()a(0,1)b(1,0)c(0，1)d(1,0)答案a解析特殊值法，取准线上一点(0，1)设m(x1，x)，n(x2，x)，则过m、n的切线方程分别为yxx1(xx1)，yxx2(xx2)将(0，1)代入得xx4，mn的方程为y1，恒过(0,1)点9如图，过抛物线x24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2(yp)2p2于点a、b、c、d，则的值是()a8p2b4p2c2p2dp2答案d解析|af|pya，|df|pyb，|yaybp2.因为，的方向相同，所以|yaybp2.10已知抛物线yx2上有一定点a(1,1)和两动点p、q，当papq时，点q的横坐标取值范围是()a(，3b1，)c3,1d(，31，)答案d解析设p(x1，x)，q(x2，x)，kapx11，kpqx2x1.由题意得kpakpq(x11)(x2x1)1，x2x1(1x1)1.利用函数性质知x2(，31，)，故选d.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11设l1的倾斜角为，(0，)，l1绕其上一点p逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为2，l2绕点p逆时针方向旋转角得直线l3：x2y10，则l1的方程为_答案2xy80解析l1l3，k1tan2，k2tan2.l2的纵截距为2，l2的方程为yx2.由p(3,2)，l1过p点l1的方程为2xy80.12过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点且面积最小的圆的方程是_答案(x)2(y)2解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组得交点a(，)，b(3,2)因为ab为直径，其中点为圆心，即为(，)，r|ab|，所以圆的方程为(x)2(y)2.13(2012江苏)在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_答案解析设圆心c(4,0)到直线ykx2的距离为d，则d，由题意知问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.14若椭圆1过抛物线y28x的焦点，且与双曲线x2y21有相同的焦点，则该椭圆的方程是_答案1解析抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2y21有相同的焦点，a2，c.b2a2c2，b22，椭圆的方程为1.15已知两点m(3,0)，n(3,0)，点p为坐标平面内一动点，且|0，则动点p(x，y)到点a(3,0)的距离的最小值为_答案3解析因为m(3,0)，n(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|0，得66(x3)0，化简整理得y212x.所以点a是抛物线y212x的焦点，所以点p到a的距离的最小值就是原点到a(3,0)的距离，所以d3.16已知以yx为渐近线的双曲线d：1(a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，若p为双曲线d右支上任意一点，则的取值范围是_答案解析依题意，|pf1|pf2|2a，|pf1|pf2|2c，所以0.又双曲线的渐近线方程yx，则.因此e2，故0b0)的一个顶点为a(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1)求椭圆c的方程；(2)当amn的面积为时，求k的值解析(1)由题意得解得b.所以椭圆c的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2.所以|mn| .又因为点a(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以amn的面积为s|mn|d.由，化简得7k42k250，解得k1.19(本题满分12分)(2012天津理)设椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为a、b，点p在椭圆上且异于a，b两点，o为坐标原点(1)若直线ap与bp的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|ap|oa|，证明直线op的斜率k满足|k|.解析(1)设点p的坐标为(x0，y0)由题意，有1.由a(a,0)，b(a,0)，得kap，kbp.由kapkbp，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.(2)方法一依题意，直线op的方程为ykx，设点p的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|ap|oa|，a(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k2()24.由ab0，故(1k2)24k24，即k214.因此k23，所以|k|.方法二依题意，直线op的方程为ykx，可设点p的坐标为(x0，kx0)由点p在椭圆上，有1.因为ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2.由|ap|oa|，a(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)3，所以|k|.20. (本题满分12分)如图，点a，b分别是椭圆1长轴的左，右端点，点f是椭圆的右焦点，点p在椭圆上，且位于x轴上方，papf.(1)求点p的坐标；(2)设m是椭圆长轴ab的一点，m到直线ap的距离等于|mb|，求椭圆上的点到点m的距离d的最小值解析(1)由已知可得点a(6,0)，f(4,0)，设点p的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得则2x29x180，x或x6.点p位于x轴上方，x6舍去，只能取x.由于y0，于是y.点p的坐标是(，)(2)直线ap的方程是xy60.设点m的坐标是(m,0)(6m6)，则m到直线ap的距离是.于是6m，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点m的距离d有d2(x2)2y2x24x420x2(x)215.由于6x6，当x时，d取得最小值.21(本题满分12分)已知椭圆y21的两个焦点是f1(c,0)，f2(c,0)(c0)(1)设e是直线yx2与椭圆的一个公共点，求|ef1|ef2|取得最小值时椭圆的方程；(2)已知点n(0，1)，斜率为k(k0)的直线l与条件(1)下的椭圆交于不同的两点a，b，点q满足，且0，求直线l在y轴上的截距的取值范围解析(1)由题意，知m11，即m0.由得(m2)x24(m1)x3(m1)0.又由16(m1)212(m2)(m1)4(m1)(m2)0，解得m2或m1(舍去)，m2.此时|ef1|ef2|22.当且仅当m2时，|ef1|ef2|取得最小值2，此时椭圆的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykxt.由方程组消去y得(13k2)x26ktx3t230.直线l与椭圆交于不同的两点a，b，(6kt)24(13k2)(3t23)0，即t213k2.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，q(xq，yq)，则x1x2.由，得q为线段的ab的中点，则xq，yqkxqt.0，直线ab的斜率kab与直线qn的斜率kqn乘积为1，即kqnkab1，k1.化简得13k22t，代入式得t22t，解得0t0，故2t13k21，得t.综上，直线l在y轴上的截距t的取值范围是(，2)22(本题满分12分)(2012浙江文)如图，在直角坐标系xoy中，点p(1，)到抛物线c：y22px(p0)的准线的距离为.点m(t,1)是c上的定点，a，b是c上的两动点，且线段ab被直线om平分(1)求p，t的值；(2)求abp面积的最大值解析(1)由题意知得(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段ab的中点为q(m，m)由题意知，设直线ab的斜率为k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2.故k2m1.所以直线ab的方程为ym(xm)即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0.所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|ab|y1y2|.设点p到直线ab的距离为d，则d.设abp的面积为s，则s|ab|d|12(mm2)|.由4m4m20，得0m1.令u，0u，则su(12u2)设s(u)u(12u2)，0b0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于()a.b.c.d.答案b解析c2am,2n2c2m2，又n2c2m2，m2c2，即mc.c2ac，则e.6椭圆1离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()a3x2y40b4x6y70c3x2y20d4x6y10答案b解析依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为，所求直线的斜率等于，所以所求直线方程是y(x1)，即4x6y70，选b.7已知圆x2y21与x轴的两个交点为a、b，若圆内的动点p使|pa|、|po|、|pb|成等比数列，则的取值范围为()a.b.c(，0)d1,0)答案c解析设p(x，y)，|po|2|pa|pb|，即x2y2，整理得2x22y21.(1x，y)(1x，y)x2y21 2x2.p为圆内动点且满足x2y2.|x|，12x2.2x20)上，将点a的坐标代入得a2，所以c的实轴长为4.9已知正方形abcd，则以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的离心率为_答案1解析令ab2，则ac2.椭圆中c1,2a22a1.可得e1.10(2012北京理)在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y24x的焦点f，且与该抛物线相交于a，b两点，其中点a在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为_答案解析直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得ya2(yb0)的左、右焦点分别为f1、f2，a是椭圆c上的一点，且0，坐标原点o到直线af1的距离为|of1|.(1)求椭圆c的方程；(2)设q是椭圆c上的一点，过点q的直线l交x轴于点p(1,0)，交y轴于点m，若2，求直线l的方程解析(1)由题设知f1(，0)，f2(，0)由于0，则有，所以点a的坐标为(，)，故所在直线方程为y()所以坐标原点o到直线af1的距离为(a)又|of1|，所以，解得a2(a)所求椭圆的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，直线l的方程为yk(x1)，则有m(0，k)设q(x1，y1)，2，(x1，y1k)2(1x1，y1)又q在椭圆c上，得1，解得k4.故直线l的方程为y4(x1)或y4(x1)，即4xy40或4xy40.12椭圆1(ab0)的左、右焦点为f1、f2，过f1的直线l与椭圆交于a、b两点(1)如果点a在圆x2y2c2(c为椭圆的半焦距)上，且|f1a|c，求椭圆的离心率；(2)若函数ylogmx(m0且m1)的图像，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求的取值范围解析(1)点a在圆x2y2c2上，af1f2为一直角三角形|f1a|c，|f1f2|2c，|f2a|c.由椭圆的定义，知|af1|af2|2a，cc2a.e1.(2)函数ylogmx的图像恒过点(1，)，由已知条件知还恒过点(b，a)，a，b1，c1.点f1(1,0)，f2(1,0)，若abx轴，则a(1，)，b(1，)(2，)，(2，)4.若ab与x轴不垂直，设直线ab的斜率为k，则ab的方程为yk(x1)由消去y，得(12k2)x24k2x2(k21)0.(*)8k280，方程(*)有两个不同的实根设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根x1x2，x1x2.(x11，y1)，(x21，y2)(x11)(x21)y1y2(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k2(1k2)(k21)()1k2.12k21，01,0.1b0)的一个焦点是f(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)设经过点f的直线交椭圆c于m，n两点，线段mn的垂直平分线交y轴于点p(0，y0)，求y0的取值范围解析(1)设椭圆c的半焦距是c.依题意，得c1.因为椭圆c的离心率为，所以a2c2，b2a2c23.故椭圆c的方程为1.(2)当mnx轴时，显然y00.当mn与x轴不垂直时，可设直线mn的方程为yk(x1)(k0)由消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，线段mn的中点为q(x3，y3)，则x1x2.所以x3，y3k(x31).线段mn的垂直平分线的方程为y(x)在上述方程中，令x0，得y0.当k0时，4k4.所以y00或0b0)，且a2b2c2.由题意可知：b1，.解得a24，所以椭圆c的标准方程为y21.(2)由(1)得q(2,0)设a(x1，y1)，b(x2，y2)当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x.由解得或即a(，)，b(，)(不妨设点a在x轴上方)，则kaq1，kbq1.因为kaqkbq1，所以aqbq.所以aqb，即aqb的大小为.当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线ab的方程为yk(x)(k0)由消去y得(25100k2)x2240k2x144k21000.因为点(，0)在椭圆c的内部，显然0.因为(x12，y1)，(x22，y2)，y1k(x1)，y2k(x2)，所以(x12)(x22)y1y2(x12)(x22)k(x1)k(x2)(1k2)x1x2(2k2)(x1x2)4k2(1k2)(2k2)()4k20.所以.所以qab为直角三角形假设存在直线l使得qab为等腰三角形，则|qa|qb|.如图，取ab的中点m，连接qm，则qmab.记点(，0)为n.因为xm，所以ymk(xm)，即m(，)所以(，)，(，)所以0.所以与不垂直，即与不垂直，矛盾所以假设不成立，故当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得qab为等腰三角形15设椭圆m：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且内切于圆x2y24.(1)求椭圆m的方程；(2)若直线yxm交椭圆于a、b两点，椭圆上一点p(1，)，求pab面积的最大值解析(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为e，圆x2y24的直径为4，则2a4，得所求椭圆m的方程为1.(2)直线ab的直线方程为yxm.由得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0，得2m0)的左，右焦点分别为f1，f2，m，n是直线l：x2b上的两个动点，0.(1)若|2，求b的值；(2)求|mn|的最小值解析设m(2b，y1)，n(b，y2)，则(3b，y1)，(b，y2)由0，得y1y23b2.(1)由|2，得2.2.由、三式，消去y1，y2，并求得b.(2)易求椭圆c的标准方程为1.方法一|mn|2(y1y2)2yy2y1y22y1y22y1y24y1y212b2，所以，当且仅当y1y2b或y2y1b，|mn|取最小值2b.方法二|mn|2(y1y2)2y6b212b2，所以，当且仅当y1y2b或y2y1b时，|mn|取最小值2b.17(2013武汉)如图，dpx轴，点m在dp的延长线上，且|dm|2|dp|.当点p在圆x2y21上运动时(1)求点m的轨迹c的方程；(2)过点t(0，t)作圆x2y21的切线l交曲线c于a，b两点，求aob面积s的最大值和相应的点t的坐标解析(1)设点m的坐标为(x，y)，点p的坐标为(x0，y0)，则xx0，y2y0，所以x0x，y0.因为p(x0，y0)在圆x2y21上，所以xy1.将代入，得点m的轨迹c的方程为x21.(2)由题意知，|t|1.当t1时，切线l的方程为y1，点a、b的坐标分别为(，1)、(，1)，此时|ab|，当t1时，同理可得|ab|；当|t|1时，设切线l的方程为ykxt，kr.由得(4k2)x22ktxt240.设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由得x1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即t2k21.所以|ab|.因为|ab|2，且当t时，|ab|2，所以|ab|的最大值为2.依题意，圆心o到直线ab的距离为圆x2y21的半径，所以aob面积s|ab|11，当且仅当t时，aob面积s的最大值为1，相应的t的坐标为(0，)或(0，)18已知焦点在y轴上的椭圆c1：1经过a(1,0)点，且离心率为.(1)求椭圆c1的方程；(2)过抛物线c2：yx2h(hr)上p点的切线与椭圆c1交于两点m、n，记线段mn与pa的中点分别为g、h，当gh与y轴平行时，求h的最小值解析(1)由题意可得解得a2，b1，所以椭圆c1的方程为x21.(2)设p(t，t2h)，由y2x，抛物线c2在点p处的切线的斜率为ky2t，所以mn的方程为y2txt2h.代入椭圆方程得4x2(2txt2h)240，化简得4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.又mn与椭圆c1有两个交点，故16t42(h2)t2h240.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn中点横坐标为x0，则x0.设线段pa的中点横坐标为x3.由已知得x0x3，即.显然t0，h(t1)当t0时，t2，当且仅当t1时取得等号，此时h3不符合式，故舍去；当tb0)的离心率为，其中左焦点f(2,0)(1)求椭圆c的方程；(2)若直线yxm与椭圆c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点m关于直线yx1的对称点在圆x2y21上，求m的值解析(1)1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x3，y3)，v(x4，y4)由3x24mx2m280.968m202m0)的焦点为f，抛物线上一点a的横坐标为x1(x10)，过点a作抛物线c的切线l1交x轴于点d，交y轴于点q，交直线l：y于点m，当|fd|2时，afd60.(1)求证：afq为等腰三角形，并求抛物线c的方程；(2)若b位于y轴左侧的抛物线c上，过点b作抛物线c的切线l2交直线l1于点p，交直线l于点n，求pmn面积的最小值，并求取到最小值时的x1