高考数学一轮总复习 5.8 三角函数的综合应用教案 理 新人教A版.doc

5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，abcd是一块边长为100 m的正方形地皮，其中ast是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点p在上，相邻两边cq、cr分别落在正方形的边bc、cd上，求矩形停车场pqcr面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接ap，过p作pmab于m.设pam，0，则pm90sin ，am90cos ，所以pq10090cos ，pr10090sin ，于是s四边形pqcrpqpr(10090cos )(10090sin )8 100sin cos 9 000(sin cos )10 000.设tsin cos ，则1t，sin cos .s四边形pqcr8 1009 000t10 0004 050(t)2950 (1t).当t时，(s四边形pqcr)max14 0509 000 m2；当t时，(s四边形pqcr)min950 m2.【点拨】同时含有sin cos ，sin cos 的函数求最值时，可设sin cos t，把sin cos 用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】若0x，则4x与sin 3x的大小关系是()a.4xsin 3xb.4xsin 3xc.4xsin 3xd.与x的值有关【解析】令f(x)4xsin 3x，则f(x)43cos 3x.因为f(x)43cos 3x0，所以f(x)为增函数.又0x，所以f(x)f(0)0，即得4xsin 3x0.所以4xsin 3x.故选a.题型二函数yasin(x)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yacos tb.(1)根据以上数据，求出函数yacos tb的最小正周期t、振幅a及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期t12，所以.由t0，y1.5，得ab1.5，由t3，y1.0，得b1.0，所以a0.5，b1，所以振幅为.所以ycos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，所以cos t11，所以cos t0，所以2kt2k，即12k3t12k3.因为0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用yasin(x)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点p到水面的距离为d m(p在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：dasin(t)k(a0，0，)，且当点p从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：a10；k5.其中正确结论的序号是.【解析】.题型三正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶m、n间的距离，飞机沿水平方向在a、b两点进行测量，a、b、m、n在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和a、b之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算m、n间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：测ab间的距离a；测俯角mab，nab，mba，nba.(2)在abm中 ，amb，由正弦定理得bm，同理在ban中，bn，所以在bmn中，由余弦定理得mn.【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60方向上，另一灯塔在南偏西75方向上，则该船的速度是海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知ab10，ocb60，oca75.我们只需计算出oc的长，即可得出船速.在直角三角形oca和ocb中，显然有tanocbtan 60且tanocatan 75，因此易得aboaoboc(tan 75tan 60)，即有oc5.由此可得船的速度为5海里0.5小时10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函