高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（2）课件 新人教A版必修5 (2).ppt

2 1数列的概念与简单表示法 二 第二章数列 1 理解数列的几种表示方法 能从函数的观点研究数列 2 理解递推公式的含义 能根据递推公式求出数列的前几项 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一递推公式 1 已知数列 an 的首项a1 1 且有an 3an 1 2 n 1 n n 则a4 2 已知数列 an 中 a1 a2 1 且有an 2 an an 1 n n 则a4 53 3 如果数列 an 的第1项或前几项已知 并且数列 an 的任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个式子来表示 那么这个式子就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是数列的一种表示方法 梳理 思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列 那么通项公式和递推公式有什么不同呢 通项公式和递推公式都是表示数列的方法 已知数列的通项公式 可以直接求出任意一项 已知递推公式 要求某一项 则必须依次求出该项前面所有的项 答案 知识点二数列的表示方法 思考 答案 以数列2 4 6 8 10 12 为例 你能用几种方法表示这个数列 通项公式法 an 2n 列表法 图象法 梳理 数列的表示方法有通项公式法 图象法 列表法 递推公式法 题型探究 例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形 在四个三角形图案中 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项 请写出这个数列的一个通项公式 并在直角坐标系中画出它的图象 类型一数列的函数特性 解答 如题图 这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1 3 9 27 则所求数列的前4项都是3的指数幂 指数为序号减1 所以 这个数列的一个通项公式是an 3n 1 在直角坐标系中的图象为一些孤立的点 如图所示 数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n 且n n 所以善于利用我们熟知的一些基本函数 通过合理的联想 转化 从而达到解决问题的目的 反思与感悟 跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数 比如 他们将石子摆成如图所示的三角形点阵 就将其所对应石子的个数称为三角形数 则第10个三角形数是 三角形数依次为1 3 6 10 15 第10个三角形数为1 2 3 4 10 55 答案 解析 55 类型二数列的递推公式 命题角度1由递推公式求前若干项 写出这个数列的前5项 解答 故 an 是周期为4的数列 解答 递推公式反映的是相邻两项 或n项 之间的关系 对于通项公式 已知n的值即可得到相应的项 而递推公式则要已知首项 或前几项 才可依次求得其他的项 若项数很大 则应考虑数列是否有规律性 反思与感悟 a1 2 a2 3 a3 3a2 2a1 3 3 2 2 5 a4 3a3 2a2 3 5 2 3 9 a5 3a4 2a3 3 9 2 5 17 a6 3a5 2a4 3 17 2 9 33 跟踪训练2在数列 an 中 已知a1 2 a2 3 an 2 3an 1 2an n 1 写出此数列的前6项 解答 n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 2 n 1 1 2n 1 a1 1也适合上式 所以数列 an 的通项公式是an 2n 1 命题角度2由递推公式求通项例3 1 对于任意数列 an 等式 a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an n 2 n n 都成立 试根据这一结论 完成问题 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 an 2 求通项an 解答 解答 a1 1也适合上式 反思与感悟 a1 1 a2 2 a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 a8 2 发现 an 6 an 数列 an 具有周期性 周期t 6 证明如下 an 2 an 1 an an 3 an 2 an 1 an 1 an an 1 an an 6 an 3 an an 数列 an 是周期数列 且t 6 a2016 a335 6 6 a6 1 跟踪训练3已知数列 an 中 a1 1 a2 2 an 2 an 1 an 试写出a3 a4 a5 a6 a7 a8 你发现数列 an 具有怎样的规律 你能否求出该数列中的第2016项 解答 当堂训练 1 数列1 3 6 10 15 的递推公式是a an 1 an n n n b an an 1 n n n n 2c an 1 an n 1 n n d an an 1 n 1 n n n 2 1 2 3 答案 解析 由已知得a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an an 1 n n n n 2 故选b 1 2 3 2 已知数列 an 满足a1 2 an 1 an 1 0 n n 则此数列的通项an等于a n2 1b n 1c 1 nd 3 n 答案 解析 an 1 an 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 2 2 1 n 1 3 n 1 2 3 3 用火柴棒按下图的方法搭三角形 a1 3 a2 3 2 5 a3 3 2 2 7 a4 3 2 2 2 9 an 2n 1 n n 按图示的规律搭下去 则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 an 2n 1 n n 答案 解析 1 an 与an是不同的两种表示 an 表示数列a1 a2 an 是数列的一种简记形式 而an只表示数列 an 的第n项 an与 an 是 个体 与 整体 的从属关系 2 数列的表示方法 1 图象法 2 列表法 3 通项公式法 4 递推公式法 3 通项公式