全国高中数学竞赛二试模拟训练题(43)(1).doc

加试模拟训练题（43）1、 如图，已知两个半径不相等的o1和o2相交于m、n两点，且o1、o2与o内切于s、t两点，求证：ommn的充分必要条件是s、n、t三点共线2、 假设a、b、c是已知的自然数且abc1）证明函数f：nn是唯一的，f是由下列规则定义2）找出至少有一个不动点(即f(x)x)的充分必要条件3）用a、b、c来表示这样的一个不动点3、若干个步行者沿直线分别匀速行走已知在某段时间内，所有步行者两两之间的距离之和严格递减证明：在这段时间内，必有某个步行者，他与其它人的距离之和也严格递减4、设使得，证明：存在无穷多个正整数n，使得加试模拟训练题（43）1、 如图，已知两个半径不相等的o1和o2相交于m、n两点，且o1、o2与o内切于s、t两点，求证：ommn的充分必要条件是s、n、t三点共线【证】 如图，由题设，知o、o1、s共线，o、o2、t共线连结os、ot、sn、nt、o1m、o1n、o2m、o2n，则有osot(1)充分性设s、n、t三点共线，则st因o1sn、o2nt都是等腰三角形，故so1nsto2nt，从而o2nos，o1notoo1no2为平行四边形，故oo1o2no2m，oo2o1no1m所以o1moo2om，则so1moso2om o1o2om；又由于o1o2mn，故ommn(2)必要性 设ommn，由图知oo2oo1(oto2t)(oso1s)o1so2t(定值)mo1mo2所以，o1m分别在以o1、o2为焦点的双曲线的(左、右)两支上由ommn，o1o2mn，知omo1o2又由双曲线对称性，知o1o2mo是等腰梯形所以oo2o1mo1n，oo1mo2o2n，从而oo1no2是平行四边形所以2o1ns2o2nt2o1no2(o1nssso1n)(o2nttno2t)360，o1nso2nto1no2180，s、n、t三点共线 2、 假设a、b、c是已知的自然数且abc1）证明函数f：nn是唯一的，f是由下列规则定义2）找出至少有一个不动点(即f(x)x)的充分必要条件3）用a、b、c来表示这样的一个不动点【解】我们可以逐步求出f(x)的表达式在nc时，f(n)na在cnc(ba)时，f(n)f(f(nb)f(nba)n(ba)a在c(ba)nc2(ba)时，f(n)f(f(nb)f(n2(ba)n2(ba)a一般地，在ck(ba)nc(k1)(ba)时，f(n)n(k1)(ba)a，k0，1，q这里qn，满足q(ba)c(q1)(ba)因此，f(n)是唯一的若f有不动点n，则nnk(ba)a即 (ba)|a上式不但是必要条件，而且也是充分条件事实上，在这一条件成立时，设ak(ba)，则满足c(k1)(ba)nck(ba)的自然数n都是不动点3、若干个步行者沿直线分别匀速行走已知在某段时间内，所有步行者两两之间的距离之和严格递减证明：在这段时间内，必有某个步行者，他与其它人的距离之和也严格递减【题说】 第二十二届(1996年)全俄数学奥林匹克十一年级题2【证】 设有n个步行者，分别用p1，p2，pn表示，用vij表示pi与pj彼此靠近的速度(1ijn)这个量可能正，也可能负注意，在整个考察时间内vij不会增大(仅当pi与pj相遇，或其中一人追上另一人时才会减小)已知在考察时间的最后时刻，这些速度之和是正数：因为vijvji(1ijn)，所以从而必有某个步行者pj，使得因为所有的vij在整个考察时间内不增，所以不等式(*)在整个考察时间内成立从而原命题得证4、设使得，证明：存在无穷多个正整数n，使得证明 设可知数列满足递推公式（牛顿幂和公式）由于，可以得到下面证明：若，则（1）为奇数，由得又因为，所以，即