全国高中数学竞赛二试模拟训练题(45)(1).doc

加试模拟训练题（45）1.在锐角三角形abc中，ab上的高ce与ac上的高bd相交于点h，以de为直径的圆分别交ab、ac于f、g两点，fg与ah相交于点k，已知bc25，bd=20，be7，求ak的长。2 证明：对所有满足条件x10，x20，x1y1成立，并求出等号成立的充要条件3. 有1987片玻璃片，每片上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色(例如将一块蓝玻璃片和一块红玻璃片上的红色与蓝色擦掉，然后在两片上涂上黄色)证明：1无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少片，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色；2最后变成哪一种颜色，与操作顺序无关4、求所有具有下面性质的正整数n：若a、b为正整数，且，则一定有。加试模拟训练题（45）1.在锐角三角形abc中，ab上的高ce与ac上的高bd相交于点h，以de为直径的圆分别交ab、ac于f、g两点，fg与ah相交于点k，已知bc25，bd=20，be7，求ak的长。2 证明：对所有满足条件x10，x20，x1y1成立，并求出等号成立的充要条件【题说】第十一届（1969年）国际数学奥林匹克题6本题由原苏联提供所以当且仅当x1=x2，y1=y2，z1=z2时，等号成立3. 有1987片玻璃片，每片上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色(例如将一块蓝玻璃片和一块红玻璃片上的红色与蓝色擦掉，然后在两片上涂上黄色)证明：1无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少片，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色；2最后变成哪一种颜色，与操作顺序无关【题说】第二届(1987年)东北三省数学邀请赛题4【证】设红片、黄片和蓝片的数目分别为x、y、zx、y、z被3除后的余数中必有两个是相等的否则xyz0120(mod3)与 xyz19871(mod3)矛盾不妨设x3am，y3bn，z3cn，其中m、n0，1，2)，cb若cb，则可将黄片、蓝片一对一地全变成红片若cb先将3bn片黄片与3bn片蓝片一对一对地换成红片，这时黄片数为0，蓝片数为3(cb)接着，将1片红片，1片蓝片变成2片黄片，再将2片黄片、2片蓝片变成2片红片经过这一过程，黄片数仍为0，蓝片数减为3(cb1)如果cb10，结论已经成立否则，类似地再操作若干次，直至蓝片数减少至0最后所有玻璃片都涂上了红色由于经过一次操作，黄片、蓝片数均减少1，或一种减少1，另一种增加2所以两种片数除以3所得余数仍然相同如果最后只剩下一3的余数才能相等，即所有玻璃片均为红色4、求所有具有下面性质的正整数n：若a、b为正整数，且，则一定有。解: 我们称题中给出的性质为p，下面先证明性质p与性质q等价。 性质q：若a为正整数，且，则。事实上，若n具有性质p，则对任意，若，可知存在，使得（裴蜀定理）利用性质p，有，而，所以。于是，n具有性质q。另一方面，若n具有性质q，这时若a、b为正整数，使得，则，利用性质q，可知，于是，由，有，而，所以，这表示n具有性质p。综上，性质p与性质q等价。下面求所有性质q的正整数n：当a为奇数时，因为，而奇数的平方，又为偶数，故；当时，故；当时，由费马小定理，。这表明：如果，且，则n具有性质q。反过来，设，且n具有性质q，