高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 文 苏教版.ppt

9 3圆的方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 圆的定义与方程 知识梳理 定点 定长 a b r d2 e2 4f 0 1 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f代入标准方程或一般方程 2 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 5 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则 dx0 ey0 f 0 考点自测 1 教材改编 圆心是 2 3 且经过原点的圆的标准方程为 x 2 2 y 3 2 13 易得r 答案 解析 2 方程x2 y2 mx 2y 3 0表示圆 则m的范围是 将x2 y2 mx 2y 3 0化为圆的标准方程得 x 2 y 1 2 1 3 由其表示圆可得 2 0 解得m 答案 解析 3 2016 扬州检测 当a为任意实数时 直线 a 1 x y a 1 0恒过定点c 则以点c为圆心 为半径的圆的方程为 答案 解析 x2 y2 2x 4y 0 将方程分离参数a可得a x 1 x y 1 0 方程表示过两直线的交点 由得交点为 1 2 故圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 即x2 y2 2x 4y 0 4 教材改编 圆c的圆心在x轴上 并且过点a 1 1 和b 1 3 则圆c的方程为 答案 解析 x2 y2 4x 6 0 设圆心坐标为c a 0 点a 1 1 和b 1 3 在圆c上 ca cb 解得a 2 圆心为c 2 0 半径ca 圆c的方程为 x 2 2 y2 10 即x2 y2 4x 6 0 5 2016 浙江 已知a r 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 答案 解析 2 4 由已知方程表示圆 则a2 a 2 解得a 2或a 1 当a 2时 方程不满足表示圆的条件 故舍去 当a 1时 原方程为x2 y2 4x 8y 5 0 化为标准方程为 x 2 2 y 4 2 25 表示以 2 4 为圆心 半径为5的圆 5 题型分类深度剖析 题型一求圆的方程例1 1 2016 天津 已知圆c的圆心在x轴的正半轴上 点m 0 在圆c上 且圆心到直线2x y 0的距离为 则圆c的方程为 答案 解析 x2 y2 4x 5 0 因为圆c的圆心在x轴的正半轴上 设c a 0 且a 0 所以圆心到直线2x y 0的距离 解得a 2 所以圆c的半径r cm 3 所以圆c的方程为 x 2 2 y2 9 即x2 y2 4x 5 0 2 2015 课标全国 一个圆经过椭圆 1的三个顶点 且圆心在x轴的正半轴上 则该圆的标准方程为 答案 解析 由题意知圆过 4 0 0 2 0 2 三点 4 0 0 2 两点的垂直平分线方程为y 1 2 x 2 令y 0 解得x 圆心为 半径为 所以圆的标准方程为 x 2 y2 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 思维升华 跟踪训练1 2016 苏州一模 圆心在直线2x y 7 0上的圆c与y轴交于a 0 4 b 0 2 两点 则圆c的标准方程为 答案 解析 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 x 2 2 y 3 2 5 故圆c的标准方程为 x 2 2 y 3 2 5 题型二与圆有关的最值问题例2 2016 盐城检测 已知点 x y 在圆 x 2 2 y 3 2 1上 求x y的最大值和最小值 解答 设t x y 则y x t t可视为直线y x t的纵截距 x y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值 即直线与圆相切时的纵截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径 即 1 解得t 1或t 1 x y的最大值为 1 最小值为 1 几何画板展示 引申探究1 在例2的条件下 求的最大值和最小值 解答 可视为点 x y 与原点连线的斜率 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值 即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为y kx 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径 即 1 解得k 2 或k 2 的最大值为 2 最小值为 2 几何画板展示 2 在例2的条件下 求的最大值和最小值 解答 求它的最值可视为求点 x y 到定点 1 2 的距离的最值 可转化为圆心 2 3 到定点 1 2 的距离与半径的和或差 又圆心到定点 1 2 的距离为 的最大值为 1 最小值为 1 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 1 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合求解 2 与圆上点 x y 有关代数式的最值的常见类型及解法 形如u 型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点 a b 的距离平方的最值问题 思维升华 跟踪训练2 2016 扬州模拟 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 解答 如图 方程x2 y2 4x 1 0表示以点 2 0 为圆心 以为半径的圆 设 k 即y kx 则圆心 2 0 到直线y kx的距离为半径 即直线与圆相切时 斜率取得最大值 最小值 由 解得k2 3 kmax kmin 2 y x的最小值 解答 设y x b 则y x b 当且仅当直线y x b与圆切于第四象限时 截距b取最小值 由点到直线的距离公式 得 即b 2 故 y x min 2 3 x2 y2的最大值和最小值 解答 x2 y2是圆上的点与原点的距离的平方 故连结oc 与圆交于b点 并延长交圆于c 则 x2 y2 max oc 2 2 2 7 x2 y2 min ob2 2 2 7 题型三与圆有关的轨迹问题例3 2016 盐城模拟 已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 解答 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 几何画板展示 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解答 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连结on 则on pq 所以op2 on2 pn2 on2 bn2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 几何画板展示 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 1 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 2 定义法 根据圆 直线等定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 思维升华 跟踪训练3 2016 天津模拟 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 解答 几何画板展示 如图所示 设p x y n x0 y0 则线段op的中点坐标为 线段mn的中点坐标为 由于平行四边形的对角线互相平分 从而 又n x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 但应除去两点和 点p在直线om上的情况 典例在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 利用几何性质巧设方程求半径 思想与方法系列19 本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 2 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 思想方法指导 规范解答 解一般解法 代数法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 与x轴的交点为 3 0 3 0 设圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则有 解得 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 巧妙解法 几何法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 与x轴的交点为 3 0 3 0 故可设c的圆心为 3 t 则有32 t 1 2 2 t2 解得t 1 则圆c的半径为 3 所以圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 9 即x2 y2 6x 2y 1 0 课时作业 1 2016 南通模拟 已知点a 1 1 b 1 1 则以线段ab为直径的圆的标准方程是 答案 解析 x2 y2 2 ab的中点坐标为 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 圆的标准方程为x2 y2 2 2 已知圆m的圆心m在y轴上 半径为1 直线l y 2x 2被圆m所截得的弦长为 且圆心m在直线l的下方 则圆m的标准方程是 答案 解析 x2 y 1 2 1 点m到l的距离d 设m 0 a 所以 又因为a 2 0 2 2 所以a 1 所以圆m的标准方程为x2 y 1 2 1 所以a 1或a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 徐州质检 设圆的方程是x2 y2 2ax 2y a 1 2 0 若0 a 1 则原点与圆的位置关系是 答案 解析 将圆的一般方程化成标准方程为 x a 2 y 1 2 2a 因为0 a 1 所以 0 a 2 0 1 2 2a a 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 原点在圆外 所以原点在圆外 4 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 答案 解析 x 2 2 y 1 2 1 设圆上任一点坐标为 x0 y0 4 连线中点坐标为 x y 代入 4 得 x 2 2 y 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知圆m的圆心在x轴上 且圆心在直线l1 x 2的右侧 若圆m截直线l1所得的弦长为 且与直线l2 2x 4 0相切 则圆m的标准方程为 答案 解析 x 1 2 y2 4 由已知 可设圆m的圆心坐标为 a 0 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 半径为r 得 解得满足条件 所以圆m的标准方程为 x 1 2 y2 4 6 若圆x2 y2 2x 6y 5a 0关于直线y x 2b成轴对称图形 则a b的取值范围是 答案 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 3 2 10 5a 可知圆心为 1 3 且10 5a 0 即a 2 圆关于直线y x 2b成轴对称图形 点 1 3 在直线上 则b 2 a b 2 a 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 7 2016 常州模拟 已知圆c过点 1 0 且圆心在x轴的负半轴上 直线l y x 1被该圆所截得的弦长为 则过圆心且与直线l平行的直线方程为 答案 解析 设圆的方程为 x a 2 y2 r2 a 0 因为圆c过点 1 0 且直线l y x 1被该圆所截得的弦长为 x y 3 0 所以 解得即圆心坐标为 3 0 则所求直线为y x 3 即x y 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 过点p 1 1 的直线 将圆形区域 x y x2 y2 4 分为两部分 使得这两部分的面积之差最大 则该直线的方程为 当圆心与点p的连线和过点p的直线垂直时 符合条件 圆心o与点p连线的斜率k 1 所求直线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 x y 2 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 圆心在直线x 2y 0上的圆c与y轴的正半轴相切 圆c截x轴所得弦的长为 则圆c的标准方程为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 2 2 y 1 2 4 设圆c的圆心为 a b a 0 b 0 由题意得a 2b 0 且a2 2 b2 解得a 2 b 1 所求圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 10 2016 无锡模拟 已知两点a 1 0 b 0 2 点p是圆 x 1 2 y2 1上任意一点 则 pab面积的最大值与最小值分别是 答案 解析 如图 圆心 1 0 到直线ab 2x y 2 0的距离d 故圆上的点p到直线ab的距离的最大值是最小值是又ab 故 pab面积的最大值和最小值分别是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知圆c经过p 4 2 q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段的长为 半径小于5 1 求直线pq与圆c的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意知直线pq的方程为x y 2 0 由于线段pq的垂直平分线的方程是y x 设圆心c a b 半径为r 即y x 1 所以b a 1 由圆c在y轴上截得的线段的长为 知r2 2 a2 可得 a 1 2 b 3 2 12 a2 由 得a 1 b 0或a 5 b 4 当a 1 b 0时 r2 13 满足题意 当a 5 b 4时 r2 37 不满足题意 故圆c的方程为 x 1 2 y2 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若直线l pq 且l与圆c交于点a b 且以线段ab为直径的圆经过坐标原点 求直线l的方程 解答 设直线l的方程为y x m m 2 a x1 m x1 b x2 m x2 由题意可知oa ob 即 0 化简得2x1x2 m x1 x2 m2 0 x1x2 m x1 m x2 0 由得2x2 2 m 1 x m2 12 0 x1 x2 m 1 x1x2 m 4或m 3 经检验都满足题意 直线l的方程为x y 4 0或x y 3 0