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加试模拟训练题（46）1. 2. a=（aij）是一个元素为非负整数的矩阵，其中i、j=1，2，n该矩阵有如下性质：如果某一aij=0，那么对i和j有ai1+ai2+ain+a1j+a2j+anjn.证明：这个矩阵所有元素的和不小于0.5n23 设有n个人，排成一行，从第一名开始，1至3报数，凡报到3的就退出队伍，余下的向前靠拢再按此规律重复进行，直到第p次报数后，只剩下三个人为止试问：1这剩下的三个人，他们最初应分别在原队伍的什么位置？2当n1000时，求这三个人的最初位置4.设均是正整数，试证加试模拟训练题（46）1. 2. a=（aij）是一个元素为非负整数的矩阵，其中i、j=1，2，n该矩阵有如下性质：如果某一aij=0，那么对i和j有ai1+ai2+ain+a1j+a2j+anjn证明：这个矩阵所有元素的和不小于0.5n2【题说】第十三届（1971年）国际数学奥林匹克题6本题由瑞典提供【证】交换a的两行或两列不改变题设的a的性质（因为行和与列和均不变、只是交换了位置），因此我们可以先通过交换两行或两列的变换，使得有尽可能大的k满足a11=a22=akk=0此时对于i，jk有aij0对于ik，jk，若aij=0，则aji0，因若不然，交换i，j行，就会使a11=a22=akk=ajj=0，与k的极大性矛盾因而对于jk，仍有aj1+ajn+a1j+anjn3 设有n个人，排成一行，从第一名开始，1至3报数，凡报到3的就退出队伍，余下的向前靠拢再按此规律重复进行，直到第p次报数后，只剩下三个人为止试问：1这剩下的三个人，他们最初应分别在原队伍的什么位置？2当n1000时，求这三个人的最初位置【题说】1979年浙江省赛二试题5【解】1显然，最后剩下的三个人中，前二人最初的位置分别是第一和第二设第三个人的最初位置是第ap1个第一次报数后，他排在第ap个，第p次报数后，他在第a1个，显然a13由于ap1，ap，都没有被淘汰，因此，ap1，ap等都不是3的倍数设 ap13qrp(rp1或2)则 ap1apq2当n1000时，用递推公式算得a13，a24，a35，a47，a16712，a1710671000所以当n1000时，共报数15次，最后剩下的三个人，最初位置分别是第1、2、7124.设均是正整数，试证证明 用带余除法，当m=n
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