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加试模拟训练题（94）1设h为abc的垂心，p为abc的外接圆上一点，则从点p引出的三角形的西姆松线平分ph分析：考虑能否用中位线性质证明本题：找到一条平行于simson线的线段，从pxah入手连pe，得1=2，但2=3，再由四点共圆得3=4，于是得6=7可证平行证明 连ah并延长交o于点e，则de=dh，连pe交bc于点f，交xy于点k，连fh、pb pxae， 1=2，又2=3， p、z、x、b四点共圆，3=4， 1=4 k为pf中点 de=dh，bdeh， 2=5 fhxy xy平分ph又证：延长高cf，交圆于n，则f是hn的中点，若k为ph中点，则应有fkpn再证明k在zx上即证明kzf=xzb设过p作三边的垂线交bc、ca、ab于点x、y、z连kz、kf、zx，延长cf交o于点n，连pn由pzab，cfab，k为ph中点知，kz=kf kzf=kfz易证hf=fn，故kfpn pnc=kfh但pnc+pbc=180， kfz+zfh+pbc=180即kfz+pbc=90又pxbc，pzbzp、z、x、b共圆 xzb=xpb，而xpb+pbc=90 kzf=kfz=xzb zk与zx共线即点k在abc的与点p对应的simson line上)2. 设正实数a1，自然数n2，且方程ax=x恰有n个不同的解试求a的取值范围（x表示不超过x的最大整数）【题说】1992年四川省赛决赛题3【解】由题设可知，x必为整数在x0时，axaxx所以x0令a=aa，则原方程变为x=ax=ax+ax （1）因为a1，所以（1）式成立的充分必要条件是a=1且ax1 （2）又因x=0显然满足方程，3.平面上任给五个相异的点，它们之间的最大距离与最小距离之比记为求证2sin54，并讨论等号成立的充要条件【题说】 1985年全国联赛二试题4【解】 设已给五点a、b、c、d、e的凸包为m1m是凸五边形abcde因为凸五边形内角之和为540，所以至少有一内角108，不妨设bac108又设abc中cb，a、b、c的对边分别为a、b、c则2m为三角形或凸四边形，这时必有一已知点，设为e在abc内部连ea、eb、ec，则aeb、bec、cea中，至少有一个不小于120，由情况1的证法可得2sin602sin54，命题成立3m为线段ab，此时显然有22sin54由上面的证明可以知道，当且仅当已知点组成凸五边形abcde，每个角都等于108，并且每两条邻边均相等时，2sin54，即2sin54的充要条件是已知点组成正五边形 4.求方程组的整数解【题说】第二十五届（1991年）全苏数学奥林匹克八、九年级题1【解】由原方程可得（xz2yt）2+2（xt+yz）2=（x2+2y2）（z2+2t2）=11因而 x2+2y2=1或z2+2t2=1（1）由x2+2y2=1得y=0，x=1然后由第二个方程得t=1从而得z=3（2）由z2+2t2=1得t=0，z=1从而得y=1，x=3
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