全国高中数学竞赛二试模拟训练题(65)(1).doc

加试模拟训练题（65）1.如图10,o是abc的边bc外的旁切圆,d、e、f分别为o与bc、ca、ab的切点.若od与ef相交于k,求证：ak平分bc.aoepcbfqk2.n项的0、1序列（x1，x2，xn）称为长为n的二元序列an为无连续三项成0，1，0的、长为n的二元序列的个数bn为无连续四项成0，0，1，1或1，1，0，0的、长为n的二元序列的个数证明：对每一正整数n，bn+1=2an3. abc的顶点为a(0，0)，b(0，420)，c(560，0)一个骰子的六个面分别标上两个“a”，两个“b”，两个“c”从abc内部选出点p1(k，m)，重复掷骰子，依下列法则选出点 p2，p3，：如果骰子露出标记l的那面，la，(14，92)，问km？4.设数，证明当且仅当时，其中。加试模拟训练题（65）1.如图10,o是abc的边bc外的旁切圆,d、e、f分别为o与bc、ca、ab的切点.若od与ef相交于k,求证：ak平分bc.证明：如图10,过点k作bc的行平线分别aoepcbfqk交直线ab、ac于q、p两点,连op、oq、oe、of. 由odbc,可知okpq. 由ofab,可知o、k、f、q四点共圆,有foqfkq. 由oeac,可知o、k、p、e四点共圆.有eopekp. 显然,fkqekp,可知foqeop. 由ofoe,可知 rtofqrtoep. 则oqop. 于是,ok为pq的中垂线,故 qkkp. 所以,ak平分bc.2.n项的0、1序列（x1，x2，xn）称为长为n的二元序列an为无连续三项成0，1，0的、长为n的二元序列的个数bn为无连续四项成0，0，1，1或1，1，0，0的、长为n的二元序列的个数证明：对每一正整数n，bn+1=2an【题说】第二十五届（1996年）美国数学奥林匹克题4【解】对任一n+1项的0、1序列y=（y1，y2，yn+1），令它与n项的0，1序列x=（x1，xn）对应，其中 xiyi+yi+1（mod 2） （1）显然这样的x由y唯一确定反过来，对任一个n项的0，1序列x=（x1，xn）及y1=0或1，有一个n+1项的0、1序列y=（y1，y2，yn+1），其中 yi+1yi+xi（mod2） （2）由于这时yj+yj+1yj+yj+xjxj（mod2），所以由（2）定义的对应恰好是（1）的逆对应在由（1）定义的对应中，连续四项0011或1100产生连续三项010反之，由（2）定义的对应，连续三项010产生连续四项0011或1100于是an个所述n项无连续三项成010的序列，每个恰好与两个无连续四项成0011或1100的所述n+1项序列对应从而bn+1=2an3. abc的顶点为a(0，0)，b(0，420)，c(560，0)一个骰子的六个面分别标上两个“a”，两个“b”，两个“c”从abc内部选出点p1(k，m)，重复掷骰子，依下列法则选出点 p2，p3，：如果骰子露出标记l的那面，la，(14，92)，问km？【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题12【解】因为点p1在abc内，所以所有的pn都在abc内设pn坐标为(xn，yn)，l坐标为(xl，yl)，则由公式可从pn1及l的坐标标出pn的坐标注意当pn1在如图区域中时，只有取l为 a，用公式标出的坐标才都是非负的，所以此时应取l为a同样，pn1在中时，取l为b；在中时，取l为c于是，应用上述公式依次推出各点坐标为p6(28，184)，p5(56，368)，p4(112，316)，p3(224，212)，p2(448，4)，p1(336，8)所以km33683444.设数，证明当且仅当时，其中。 证明 （1）首先证明若，则是使能被n整除的最小数。因为，一方面，满足条件的最小数。这是因为若个为奇数，且。（2）再证若其中是使数，则必有 。否则当设为奇数。由于（）=1，