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加试模拟训练题（2）1、设为正实数，满足求的最大值2、设为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有3、 一个俱乐部中有3n1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全4证明：若正整数满足，则和都是完全平方数。加试模拟训练题（2）1、设为正实数，满足求的最大值解：令则 ，于是 当 即时，2、设为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有证明: 设的从小到大的有序排列,即 ,因为是互不相同的正整数.则又因为所以由排序不等式得: (乱序) (倒序)即 成立.3、 一个俱乐部中有3n1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形自一点引出的3n条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”考虑异色角的个数由于自每一点引出n条红线，角形中有3个异色角这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全4证明：若正整数满足，则和都是完全平方数。证法一：已知关系式即为（）（）若（或者说中有一个为0时），结论显然。不妨设且，令，则，从而，将其代入得因为，所以，从而；而式又可写成；因为且，所以所以，从而。所以，所以，从而为完全平方数。所以也是完全平方数。证法二：已知关系式即为（）（）论证的关键是证明正整数与互素。记（，）。若，则有素因子，从而由知。因为是素数，故，结
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