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专题课堂 四 圆的有关性质 第二十四章圆 一 圆中角度的计算或证明要点 1 弧 弦 圆心角之间的关系 在同圆或等圆中 两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 它们所对应的其余各组量也相等 2 圆周角的四种关系 1 在同圆或等圆中 等弧对的圆周角相等 2 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半 3 直径所对的圆周角为90 4 圆内接四边形对角互补 15 或75 二 圆中线段的计算或证明方法 1 利用弧 弦 圆心角之间的关系 借助圆的半径和构造特殊三角形进行求解或证明 2 利用垂径定理及圆周角定理构造特殊三角形进行求解或证明 对应训练 3 2015 上海 如图 在 o中 ab是弦 半径oc ab 垂足为点d 要使四边形oacb为菱形 还需添加一个条件 这个条件可以是 a ad bdb od cdc cad cbdd oca ocb b 三 垂径定理的实际应用类型 1 船或车能否通过圆弧形拱桥或隧道的问题 2 有关距离问题 方法 通常补全弧形所在的圆 构成直角三角形 利用勾股定理求出圆的直径 进而判断宽度或高度或距离是否在所给的数据范围内 例3 如图 铁路mn与公路pq在点o处交汇 qon 30 在点a处有一栋居民楼 ao 300m 如果火车行驶时 周围200m之内会受到噪声影响 那么火车在铁路mn上沿on方向行驶时 居民楼是否会受到噪声影响 如果受到影响 假设火车的行驶速度为72km h 居民楼受到噪声影响的时间约为多少秒 精确到0 1s 分析 在阅读理解题意的过程中 可以利用草图 把条件标在图上 这样数形结合有助于分析问题 根据题意 判断点a是否会受到噪声影响 转化为数学问题就是看点a到mn的距离与200m的大小关系 已知火车的速度 欲求居民楼受噪声影响的时间 只需求出受其影响的行驶距离 即图中圆与mn两交点间的距离cd即可 对应训练 5 本市某居民区一处地下圆形管道破裂 修理人员准备更换一段新管道 如图 管道内污水水
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