【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题3 不等式及线性规划问题》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版.doc

必考问题3不等式及线性规划问题1(2012湖南)设ab1，c0，给出下列三个结论：；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()a b c d答案 d由不等式及ab1知，又c0，所以，正确；由指数函数的图象与性质知正确；由ab1，c0知acbc1c1，由对数函数的图象与性质知正确2(2011广东)不等式2x2x10的解集是()a. b(，1)(2，)c(1，) d(，)(1，)答案 d由不等式2x2x10得(2x1)(x1)0，所以x1或x，故选d.3(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()a. b. c5 d6答案 c将已知条件进行转化，利用基本不等式求解x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.4(2012安徽)若x，y满足约束条件则xy的取值范围是_解析记zxy，则yxz，所以z为直线yxz在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中abc区域所示结合图形可知，当直线经过点b(1,1)时，xy取得最大值0，当直线经过点c(0,3)时，xy取得最小值3.答案3,0本部分内容高考主要考查以下几方面：(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题(2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.必备知识一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来，不要死记硬背，二次函数的图象是联系“二次型”的纽带(2)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，明确分类标准(如最高次系数、判别式、根相等)，层次清楚地求解(3)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号基本不等式(1)基本不等式a2b22ab取等号的条件是当且仅当ab；当且仅当xy时，(x0，y0)取等号(2)几个重要的不等式：ab2(a，br)； (a0，b0)；a2(a0，当a1时等号成立)；2(a2b2)(ab)2(a，br，当ab时等号成立)；|a|b|ab|a|b|.(3)最值问题：设x，y都为正数，则有：若xys(和为定值)，则xy时，积xy取得最大值；若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点解决线性规划问题的一般步骤(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)必备方法1解一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系2利用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是灵活运用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这些条件对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的在运用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次运用基本不等式3平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集线性目标函数zaxby中的z不是直线axbyz在y轴上的截距，把目标函数化为yx可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.常考查：直接利用基本不等式求最值；先利用配凑法等进行恒等变形，再利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2011湖南)x，yr，且xy0，则的最小值为_(2)(2010重庆)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()a3 b4 c. d.审题视点 (1)先展开所给已知式，再结合结构特征求最值(2)将已知式改写成y关于x的表达式，再代入x2y消元，整理成应用基本不等式的形式求最值听课记录解析(1)144x2y21429，当且仅当4x2y2时，等号成立，即|xy|时等号成立(2)x2y2xy8，y0，1x8，x2yx2(x1)22 24，此时x2，y1，故选b.答案(1)9(2)b 当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果【突破训练1】 (1)已知a0，b0，且a2b1.则的最小值为_(2)(2011浙江)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析(1)332 32.即的最小值为32.(2)法一4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，(2xy)221，解之得(2xy)2，即2xy.等号当且仅当2xy0，即x，y时成立法二令t2xy，则yt2x，代入4x2y2xy1，得6x23txt210，由于x是实数，故9t224(t21)0，解得t2，即t，即t的最大值也就是2xy的最大值，为.答案(1)32(2)常考查：已知约束条件，求目标函数的最值；已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参变量的取值范围；以实际问题为背景求目标函数的最值【例2】 (2012潍坊模拟)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()a. b. c. d4审题视点 先由已知结合线性规划知识可以求得a，b的关系式，再由基本不等式求解听课记录答案 a不等式表示的平面区域如图所示阴影部分当直线axbyz(a0，b0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，目标函数zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6.所以2. 线性规划实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：其一，准确无误地作出可行域；其二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错，比如上题中目标函数所对应直线的斜率0；其三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值约在可行域的端点或边界上取得【突破训练2】 (2012福建)若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()a1 b1 c. d2答案 b首先作出约束条件对应的可行域及直线y2x，如图，易知，直线xm过点a(1,2)时符合题意，即此时xm1为m的最大值常考查：已知含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围【例3】 已知函数f(x)2x.(1)若f(x)2，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围审题视点 分离参数后可求最值听课记录解(1)当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x由已知得2x2，即22x22x10，解得2x1.2x0，xlog2(1)(2)当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)在t1,2上恒成立，m(22t1)max，又t1,2时，17(122t)5.故m的取值范围是5，) 本题考查了不等式恒成立问题，在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答【突破训练3】 已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解设f(x)x22ax2a，则问题的条件变为当x1，)时，f(x)0恒成立当(2a)24(2a)4(a2)(a1)0，即2a1时，f(x)0恒成立又当0时，f(x)0在1，)上恒成立的充要条件是3a2.故a的取值范围是3,1把握好含参二次不等式的分类标准的四个“讨论点”含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，如何选择讨论标准，始终是学生不易掌握的课题实际上，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：对判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小【示例】 (2012汕头调研)已知函数f(x)axc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范围满分解答(1)f(x)a，则有解得(4分)(2)由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，则g(1)0，g(x)a.(7分)当0a时，1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x故f(x)ln x在1，)上不恒成立(9分)当a时，1.若x1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1时，f(x)ln x(10分)综上所述，所求a的取值范围为，.(12分)老师叮咛：对不确定的根的大小关系不加区分，整体表现为不能有序地进行分类讨论，对于分类讨论的题目没有结论，这都是造成失分的原因，切记！【试一试】 (高考改编题)解关于x的不等式ax2(2a1)x20.解不等式ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2