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加试模拟训练题（70）1、在abc的大边ab上取an=ac，bm=bc，点p为abc 的内心，求证：mpn=a+b。 2.设a1，a2，a3，是正实数数列，对所有的n1满足条3. 一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，柜子从1到1024编号，他打开1号柜，之后朝前走，交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子当他走到大厅的末端，他转过身重新往回走，他打开遇到的第一个关着的柜子这学生按这方式来来回回地走来走去，直到每个柜子都打开，他打开的最后一个柜子的号码是什么？4. 方程是否有解。 加试模拟训练题（70）1、在abc的大边ab上取an=ac，bm=bc，点p为abc 的内心，求证：mpn=a+b。 分析、连接pa、pb、pc及pm、pn。由已知易证apcapn，bpcbpm。从而pc=pn，pc=pm，即pm=pn=pc。故p为cmn的外心，此时有mpn=2mcn。而can=90a，bcm=90b，故acn+bcm=180(a+b)，即 mcn+acb=180(a+b)，则mcn=(180acb)(a+b) = (a+b)。故mpn=2mcn=a+b。2.设a1，a2，a3，是正实数数列，对所有的n1满足条【题说】第二十三届（1994年）美国数学奥林匹克题4【证】先证一个更一般的命题：设a1，a2，an和b1，b2，bn是正数，且b1b2bn （1）若对所有的k=1，2，n （2）则有 （3）事实上，设bn+1=0，由（1）和（3）可得改变求和的次序得由此可得两边同时平方，再利用cauchy不等式就可以得到为了证明本题的不等式，令3. 一个心烦的学生走过一个大厅，大厅中有一排关着的柜子，柜子从1到1024编号，他打开1号柜，之后朝前走，交替地不碰动或者打开每一个关着的柜子当他走到大厅的末端，他转过身重新往回走，他打开遇到的第一个关着的柜子这学生按这方式来来回回地走来走去，直到每个柜子都打开，他打开的最后一个柜子的号码是什么？【题说】 第十四届(1996年)美国数学邀请赛题9【解】 将1024改为稍一般的2n(n为自然数)，并记相应的答案为an对1，2，2n1这2n1个柜，走到大厅末端时，未打开的号码为2，4，6，2n1往回走到出发点时，打开的号码为4的倍数，未打开的为2，6，2n2这2n1个号码如果重新排为1，2，2n1，则编号为an1的原来的编号是4an12所以an14an12显然a12，a22所以由上述递推公式得a46，a622，a886，a10342即最后打开的柜子，号码是342 4. 方程是否
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