三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.1 排列、组合课件.ppt

10 1排列 组合 1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 1 完成一件事有几类办法 各类办法相互独立 每类办法中又有多种不同的办法 则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和 这就是分类加法计数原理 2 完成一件事 需要分成几个步骤 每一步的完成有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法数是各种不同的方法种数的乘积 这就是分步乘法计数原理 2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都是涉及完成一件事的不同方法的种数 它们的区别在于 分类加法计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中任一种方法都可以完成这件事 分步乘法计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成了 3 排列 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用表示 3 排列数公式 4 全排列 n个不同元素全部取出的排列 叫做n个不同元素的一个全排列 n n 1 n 2 3 2 1 n 于是排列数公式写成阶乘形式为 规定0 1 n n 1 n m 1 c 4 组合 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用表示 3 计算公式 由于0 1 所以 1 c 5 组合数的性质 1 2 c 1 用0到9这10个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 a 324b 328c 360d 648答案b分两类 1 0作个位 有 72个偶数 2 0不作个位 有 256个偶数 故共有72 256 328个偶数 故选b 2 4名不同科目的实习教师被分配到三个班级 每班至少有一人的不同分法有 a 144种b 72种c 36种d 24种答案c将4名教师分三组 然后全排列分配到不同的班级 共有 36种不同分法 c c 3 设直线的方程是ax by 0 从1 2 3 4 5这五个数中每次取两个不同的数作为a b的值 则所得不同直线的条数是 a 20b 19c 18d 16答案c从1 2 3 4 5这五个数中每次取两个不同的数作为a b的值 取法为 而当与与时所得直线重合 故所得不同直线的条数为 2 18 故选c c 4 一次演出 原计划要排4个节目 因临时有变化 拟再添加2个小品节目 若保持原有4个节目的相对顺序不变 则这6个节目不同的排列方法有 a 20种b 25种c 30种d 32种答案c采用插空法 在排好的4个节目的5个空位中任选一个放入小品节目或5个空位中任选两个放入小品节目 然后将两个小品节目全排列 所以这6个节目不同的排列方法有 30种 c 5 从1 2 3 9这9个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f x ax2 bx c的系数 则满足 z的函数f x 共有 a 263个b 264个c 265个d 266个答案b z 即a b c为偶数 则a b c要么都是偶数 要么两奇一偶 又a b c是从1 2 3 9这9个整数中任意取的3个不同的数 故函数f x 共有 264个 c 6 将1 2 3 9这九个数字填写在如图所示的9个空格中 要求每一行从左到右依次增大 每列从上到下也依次增大 当数字4固定在中心位置时 所有填写空格的方法共有种 答案12解析必有1 4 9在主对角线上 2 3只有两种不同的填法 对于它们的每一种填法 5只有两种填法 对于5的每一种填法 6 7 8都有3种不同 的填法 由分步乘法计数原理知共有22 3 12种填法 c 两个计数原理的应用典例1 1 2015四川 6 5分 用数字0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中比40000大的偶数共有 a 144个b 120个c 96个d 72个 2 2014广东 8 5分 设集合a x1 x2 x3 x4 x5 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 那么集合a中满足条件 1 x1 x2 x3 x4 x5 3 的元素个数为 a 60b 90c 120d 130答案 1 b 2 d解析 1 数字0 1 2 3 4 5中仅有0 2 4三个偶数 比40000大的偶数为以4开头与以5开头的偶数 其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾 有2 c 48个 同理 以5开头的有3 72个 于是共有48 72 120个 故选b 2 设t x1 x2 x3 x4 x5 t 1说明x1 x2 x3 x4 x5中有一个为 1或1 其他为0 所以有2 10个元素满足t 1 t 2说明x1 x2 x3 x4 x5中有两个为 1或1 其他为0 所以有 2 2 40个元素满足t 2 t 3说明x1 x2 x3 x4 x5中有三个为 1或1 其他为0 所以有 2 2 2 80个元素满足t 3 从而 共有10 40 80 130个元素满足1 t 3 故选d 用两个原理解决计数问题时 关键是明确需要分类还是分步 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和得到总数 分步要做到 步骤完整 2 对于复杂问题 可同时运用两个计数原理或借助列表的方法来帮助分 析 1 1 2014浙江 14 4分 在8张奖券中有一 二 三等奖各1张 其余5张无奖 将这8张奖券分配给4个人 每人2张 不同的获奖情况有种 用数字作答 答案60解析不同的获奖情况可分为以下两类 有一个人获得两张有奖奖券 另外还有一个人获得一张有奖奖券 有 36种获奖情况 有三个人各获得一张有奖奖券 有 24种获奖情况 故不同的获奖情况有36 24 60种 c 1 2 2013福建 5 5分 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 a 14b 13c 12d 10答案b解析当a 0时 关于x的方程为2x b 0 此时有序数对 0 1 0 0 0 1 0 2 均满足要求 当a 0时 4 4ab 0 即ab 1 此时满足要求的有序数对为 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 综上 满足要求的有序数对共有13个 选b c 排列问题典例2 1 2014辽宁 6 5分 6把椅子摆成一排 3人随机就座 任何两人不相邻的坐法种数为 a 144b 120c 72d 24 2 2013浙江 14 4分 将a b c d e f六个字母排成一排 且a b均在c的同侧 则不同的排法共有种 用数字作答 3 2014北京 13 5分 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有种 答案 1 d 2 480 3 36解析 1 先把三把椅子隔开摆好 它们之间和两端有4个位置 再把三人带椅子插放在四个位置 共有 24种放法 故选d c 2 从左往右看 若c排在第1位 共有排法 120种 若c排在第2位 共有排法 72种 若c排在第3位 则a b可排c的左侧或右侧 共有排法 48种 若c排在第4 5 6位时 其排法数与排在第3 2 1位相同 故共有排法2 120 72 48 480种 3 记5件产品为a b c d e a b相邻视为一个元素 先与d e排列 有种方法 再将c插入 仅有3个空位可选 故共有 2 6 3 36种不同的摆法 求排列应用题的主要方法 1 对无限制条件的问题 直接法 2 对有限制条件的问题 对于不同题型可采取直接法或间接法 具体如下 每个元素都有附加条件 列表法或树状图法 有特殊元素或特殊位置 优先排列法 有相邻元素 相邻排列 捆绑法 有不相邻元素 间隔排列 插空法 2 1 2014四川 6 5分 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 a 192种b 216种c 240种d 288种答案b解析若最左端排甲 其他位置共有 120种排法 若最左端排乙 最右 端共有4种排法 其余4个位置有 24种排法 所以共有120 4 24 216种排法 c 2 2 2014重庆 9 5分 某次联欢会要安排3个歌舞类节目 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 a 72b 120c 144d 168答案b解析先不考虑小品类节目是否相邻 保证歌舞类节目不相邻的排法共有 144种 再剔除小品类节目相邻的情况 共有 24种 于是符合题意的排法共有144 24 120种 c 组合问题典例3 1 2014大纲全国 5 5分 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有 a 60种b 70种c 75种d 150种 2 2013重庆 13 5分 从3名骨科 4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组 则骨科 脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 用数字作答 3 2015湖南师大附中第二次月考 13 将6位志愿者分成4组 其中两组各2人 另两组各1人 分配到4个不同的学校支教 则不同的分配方案共有种 用数字作答 解析 1 从6名男医生中选出2名有种选法 从5名女医生中选出1名有种选法 由分步乘法计数原理得不同的选法共有 75种 故选c 2 按每科选派人数分3 1 1和2 2 1两类 当选派人数为3 1 1时 有3类 共有 200 种 当选派人数为2 2 1时 有3类 共有 390 种 故共有590种 3 根据题意 先将6人按2 2 1 1分成4组 有 45种方法 再分配到四个不同的学校 有 24种方法 则共有45 24 1080种方法 答案 1 c 2 590 3 1080 组合问题的两种主要类型 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含有 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含有 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中选取 2 至少 或 最多 含有几个元素的题型 考虑逆向思维 用间接法处理 3 1 2015浙江镇海中学测试卷三 6 5分 从4名男生和3名女生中选出3人参加学生座谈会 若这3人中至少有1名男生和1名女生 则不同的选法共有 a 60种b 32种c 31种d 30种答案d解析解法一 两男一女的选法有 18种 一男两女的选法有 12种 故不同的选法共有18 12 30种 解法二 从7人中选3人有 35种选法 其中没有女生的选法有 4种 其 中没有男生的选法有 1种 故不同的选法共有35 4 1 30种 c 3 2 2015浙江名校 绍兴一中 交流卷自选模块 五 04 2 据浙江省2017年新高考方案规定 除了语 数 外三门统考之外 考生可以在理 化 生 政 史 地和技术七门高中学业水平考试科目中任选三门计入高考总成绩 相应地 高校或招生专业也可以规定0到3门作为报考自己所必需的选考科目 比如某校某专业要求选考物理 化学 历史三门的 按照规定只需要选考了其中任意一门就可以报考 而不必三门都选考 那么 如果某考生拟报考北大环境专业 要求选考物理 化学 那么该考生七选三的选择方案有种 答案25解析可选考物理 化学中的一门与其他五科中的两门 也可物理 化 学全选 再选择其他五科中的一门 共有选择方案 25种 c 排列 组合综合运用典例4 1 2015浙江苍南巨人中学月考 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目 且在同一个城市投资的项目不超过2个 则该外商不同的投资方案有 a 16种b 36种c 42种d 60种 2 某班要从6名同学中选4人参加校运会的4 100m接力比赛 其中甲 乙两名同学必须入选 而且甲 乙两人中必须有一个人跑最后一棒 则不同的安排方法共有 a 24种b 72种c 144种d 360种 市无投资项目的有 24种 共有36 24 60种 故选d 2 甲 乙两人中有一人跑最后一棒 有种选法 再从除甲 乙之外的4人中选出2人 有种选法 这2人与甲 乙中不跑最后一棒的人跑其余三棒 有种排法 则不同的安排方法共有 72种 故选b 答案 1 d 2 b解析 1 只有两个城市有投资项目的有 36种 只有一个城 求解排列 组合问题的基本方法 1 简单问题直