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第七章数列 推理与证明 第44课四种命题和充要条件 课前热身 1 选修12p31例1改编 前提 蛇是用肺呼吸的 鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的 蜥蜴是用肺呼吸的 蛇 鳄鱼 海龟 蜥蜴都是爬行动物 则结论是 激活思维 所有的爬行动物都是用肺呼吸的 3 选修12p33练习3改编 观察下列等式 1 3 22 1 3 5 32 1 3 5 7 42 从中归纳出一般结论是 1 3 5 2n 1 n 1 2 n n 4 选修12p47定义改编 分析法是从要证的结论出发 寻求使它成立的 条件 5 选修12p49例1改编 要证明 正弦函数没有比2 小的正周期 可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 填序号 反证法 分析法 综合法 充分 1 推理一般包括合情推理和 其中合情推理又包括 和 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 2 归纳推理是由 到整体 由特殊到 的推理 类比推理是由 到 的推理 演绎推理是由 到 的推理 知识梳理 演绎推理 归纳推理 类比推理 大前提 小前提 结论 部分 一般 特殊 特殊 一般 特殊 3 证明分直接证明和间接证明 直接证明又有综合法 法等 常用的间接证明方法是 4 综合法是从 出发 经过逐步的推理 达到待证的 分析法是从 出发 寻求结论成立的 条件 达到题设的 或 反证法是从 入手 推出与 或显然成立的事实等矛盾的结果 从而判定假设错误 结论成立 一般步骤为 归谬 分析 反证法 已知条件 结论 待证的结论 充分 已知条件 已被证明的事实 假设结论不成立 已知条件 公理 定理 反设 存真 课堂导学 一种十字绣作品由相同的小正方形构成 如图 图 分别是制作该作品前四步时对应的图案 按照如此规律 第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f n 1 求出f 2 f 3 f 4 的值 合情推理 例1 解答 1 图 中只有一个小正方形 得f 1 1 图 中有3层 以第2层为对称轴 有1 3 1 5个小正方形 得f 2 5 图 中有5层 以第3层为对称轴 有1 3 5 3 1 13个小正方形 得f 3 13 图 中有7层 以第4层为对称轴 有1 3 5 7 5 3 1 25个小正方形 得f 4 25 2 利用归纳推理 归纳出f n 1 与f n 的关系式 解答 因为f 1 1 f 2 5 f 3 13 f 4 25 所以f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 所以f n f n 1 4 n 1 4n 4 故f n 1 与f n 的关系式为f n 1 f n 4n 3 猜想f n 的表达式 并写出推导过程 解答 猜想f n 的表达式为2n2 2n 1 推导过程如下 由 2 可知 f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 f n f n 1 4 n 1 4n 4 将上述n 1个式子相加 得f n f 1 4 1 2 3 4 n 1 解得f n 2n2 2n 1 故f n 的表达式为f n 2n2 2n 1 思维引导 1 先观察图形 得出f 1 f 2 f 3 f 4 的值 从中得出f n 1 与f n 的关系 2 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 所得的推理不一定正确 通常归纳的个体数目越多 越具有代表性 那么推广的一般性命题也就越可靠 它是一种发现一般性规律的重要方法 3 数列的递推关系是给出数列的一种方法 根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项 再由递推关系求数列的通项公式 常用方法有 一是求出数列的前几项 再归纳总结出数列的一个通项公式 二是将已知递推关系式整理 变形 变成等差数列或者等比数列 或用累加法 累乘法 迭代法求通项 精要点评 归纳推理的主要入手点是条件的形式特点或意义特点 根据发现的特点进行合理的猜想 再给出证明 2015 吉林模拟 如图 第n个图形是由正n 2边形 扩展 而来 n 1 2 3 则在第n个图形中共有 个顶点 变式 n 2 n 3 解析 第1个图形由三角形 扩展 而来 共3 4 12个顶点 第2个图形由正方形 扩展 而来 共4 5 20个顶点 第3个图形由正五边形 扩展 而来 共5 6 30个顶点 第4个图形由正六边形 扩展 而来 共6 7 42个顶点 第n个图形由正n 2边形 扩展 而来 共 n 2 n 3 个顶点 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n n 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则有等式 成立 思维引导 等差数列 用加减法定义 性质用加法表述 类比地 可考虑 等比数列 用乘除法定义 性质用乘法表述 例2 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 解析 对于等差数列 an 若ak 0 则an 1 a2k 1 n an 2 a2k 2 n ak ak 0 所以有a1 a2 an a1 a2 an an 1 an 2 a2k 2 n a2k 1 n n 2k 1 n n 从而对等比数列 bn 若bk 1 则有等式b1b2 bn b1b2 b2k 1 n n 2k 1 n n 成立 另外 许多时候可以考虑如下类比 加与减 乘与除 平面与立体 二维与三维等 变式 综合法与分析法证明 例3 精要点评 综合法包括的证明方法比较多 如作差 作商法 左向右 右向左 两边向中间法 由恒 不 等式证明 不 恒等式法 借助几何图形证明法等 思维引导 分析法证明的思路是执果索因 即寻找使结论成立的充分条件 通常对于分式不等式 无理不等式的证明常采用分析法 分析法要确保分析得到的最终结果必须是一个正确的结论 如题目提供的条件 某条公理 某条定理等 注意分析法证题的规范表述 要防止循环论证 例4 精要点评 分析法除了用来证明外 还能引导学生用分析法思考问题 培养学生逆向思维的能力 要求学生学会用分析法逆向解决问题 用分析法写综合法过程 反证法证明 例5 精要点评 反证法其实是一个反向思维的过程 同学们可以把反向思维与逆向思维过程进行比较 从而充分认识如何用不同思维方式解决不同问题 变式 课堂评价 1 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式为 n 1 n 2 n 3 n n 2n 1
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