高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 42 数列的求和课件 文.ppt

第七章数列 推理与证明 第42课数列的求和 课前热身 激活思维 2101 1 常用的一般数列的求和方法 1 公式法 若可以判断出所求数列是等差或等比数列 则可以直接利用公式进行求和 若数列不是等差数列 也不是等比数列 有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和 2 分组转化法 把数列的每一项拆成两项的差 或和 或把数列的项重新组合 使其转化为等差或等比数列 3 裂项相消法 把数列的通项拆成两项的差 或和 使求和时出现的一些正负项相互抵消 于是前n项和变成首尾两项或少数几项的和 差 知识梳理 4 倒序相加法 把sn中项的顺序首尾颠倒过来 再与原来顺序的sn相加 这种方法体现了 补 的思想 等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的 事实上 如果一个数列倒过来与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和可求出来 那么这样的数列就可以用倒序相加法求和 5 错位相减法 数列 anbn 的求和问题应用此法 其中 an 是等差数列 bn 是等比数列 3 形如anbn的形式 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 方法 采用错位相减法 4 首尾对称的两项和为定值的形式方法 倒序相加法 5 正负交替出现的数列形式方法 并项相加法 课堂导学 利用 分组转化法 求和 例1 所以sn 2n2 n 当n 2时 an sn sn 1 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 3 当n 1时 a1 s1 1 满足上式 综上 数列 an 的通项公式为an 4n 3 2 若bn 1 nan 求数列 bn 的前n项和tn 解答 由 1 可得bn 1 nan 1 n 4n 3 思维引导 第 1 问利用项与和之间的关系求出通项公式 第 2 问由于通项公式中含有 1 n 故采取分奇偶讨论来求和 精要点评 本题中bn是一个摆动数列 适用于分组求和 当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时 我们需要将它们进行分组 然后分别求和 设数列 an 的前n项和为sn 对任意的n n 满足2sn an an 1 且an 0 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 因为2sn an an 1 所以当n 2时 2sn 1 an 1 an 1 1 即 an an 1 an an 1 1 0 若an an 1 1 0 当n 2时 有an an 1 1 变式 又当n 1时 由2s1 a1 a1 1 及a1 0 得a1 1 所以数列 an 是等差数列 其通项公式为an n n n 利用 倒序相加法 求和 例2 思维引导 1 熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变换是对数的计算 化简 证明的常用技巧 2 若前后项的和相加为定值 则采用倒序相加法求数列的和 其基本思想和等差数列的前n项和相类似 2016 广州模拟 设sn为数列 an 的前n项和 已知a1 2 对任意n n 都有2sn n 1 an 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 因为2sn n 1 an 当n 2时 2sn 1 nan 1 两式相减 得2an n 1 an nan 1 即 n 1 an nan 1 利用 裂项相消法 求和 例3 思维引导 1 先找出递推关系 2 数列背景下的不等式证明常用放缩法 单调性求最值法 解答 1 由s n2 n 3 sn 3 n2 n 0 得 sn 3 sn n2 n 0 则sn n2 n或sn 3 因为数列 an 的各项均为正数 所以sn n2 n sn 1 n 1 2 n 1 所以当n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 满足上式 所以an 2n 变式 2016 山东卷 已知数列 an 的前n项和为sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 解答 1 由题意知 当n 2时 an sn sn 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 11 满足上式 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 利用 错位相减法 求和 例4 又tn c1 c2 cn 得tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 思维引导 第 1 小问 先根据所给sn求出an 再求出bn 第 2 小问 求出cn后 用错位相减法求解 精要点评 1 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 使用错位相减法求数列 an bn 的前n项和 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式后 错位相减 的本质是 指数相同的两式相减 因此要将两式 指数相同的两项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 两式相减得an 3n n 2 n n 又a1 s1 3也满足上式 综上 数列 an 的通项公式为an 3n 变式 2 若bn an log3an 求数列 bn 的前n项和tn 解答 由 1 知bn an log3an n 3n 则tn 3 2 32 3 33 n 3n 3tn 1 32 2 33 n 1 3n n 3n 1 两式相减得 2tn 3 32 33 3n n 3n 1 已知等差数列 an 的公差为2 前n项和为sn 且s1 s2 s4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 备用例题 课堂评价 1 2016 苏州期中 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若s4 8a1