高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5.ppt

2 4 1等比数列的概念及通项公式 1 2 3 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 练一练1等比数列3 6 12 24的公比q 答案 2 1 2 3 等比数列定义的理解 1 由于等比数列的每一项都可能作分母 故每一项均不能为零 因此q也不可能为零 2 为同一常数 由此体现了公比的意义 同时应注意分子 分母次序不能颠倒 3 如果一个数列不是从第2项起 而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数 那么这个数列不是等比数列 1 2 3 2 等比中项如果在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 这三个数满足关系式ab g2 练一练2已知1 a 4成等比数列 则a a 2b 2c 2d 16解析 由已知a2 4 得a 2 答案 c 1 2 3 3 等比数列的通项公式已知等比数列 an 的首项为a1 公比为q q 0 则数列 an 的通项公式为an a1qn 1 练一练3已知等比数列 an 的首项a1 3 公比q 2 则an a 6b 3 2n 1c 2 3n 1d 3 2 n 1解析 由等比数列的通项公式an a1qn 1 得an 3 2 n 1 答案 d 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一等比数列的通项公式及应用1 已知等比数列的首项a1与公比q可求得任何一项 2 在通项公式中 已知a1 q n an四个量中的任意三个 可以求得另一个量 即 知三求一 3 等比数列的通项公式为an a1qn 1 因此可把qn看作是自变量为n的指数型函数 4 通项公式的推广式为an am qn m 由此可得 已知等比数列的任意两项 这个数列就是一个确定的数列 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1在等比数列 an 中 1 a4 2 a7 8 求an 2 a2 a5 18 a3 a6 9 an 1 求n 思路分析 根据已知条件列出关于a1与q的方程 组 求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二等比中项的应用若a g b成等比数列 则g叫做a与b的等比中项 此时注意 1 当a b同号时 a b的等比中项有两个 当a b异号时 没有等比中项 2 在一个等比数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等比中项 3 a g b成等比数列 等价于 g2 ab a b均不为0 可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列 同时还要注意到 a g b成等比数列 与 不是等价的 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2 1 等差数列 an 中 公差d 0 且a1 a3 a9成等比数列 2 若a 2a 2 3a 3成等比数列 求实数a的值 思路分析 利用等比中项的概念g2 ab建立等量关系求解 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2 若数列 an 是等差数列 且a2 a3 a6成等比数列 则其公比q 解析 设 an 的首项为a1 公差为d 则 a2a6 即 a1 2d 2 a1 d a1 5d 解得d 0或d 2a1 当d 0时 公比q 1 当d 0时 公比q 3 故q 1或q 3 答案 1或3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3数列 an 满足a1 1 且an 3an 1 2n 3 n n 且n 2 1 求a2 a3 并证明数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 思路分析 利用等比数列的定义及通项公式求解 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 a1 1 an 3an 1 2n 3 a2 3a1 2 2 3 4 a3 3a2 2 3 3 15 下面证明 an n 是等比数列 又a1 1 2 an n 是以 2为首项 以3为公比的等比数列 2 由 1 知an n 2 3n 1 an n 2 3n 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易错辨析易错点忽视等比数列中项的符号致错典型例题4在等比数列 an 中 a5 a9是方程7x2 18x 7 0的两个根 则a7 错解 a5 a9是方程7x2 18x 7 0的两个根 a5 a9 1 又a7是a5 a9的等比中项 a5 a9 1 a7 1 答案 1 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析 等比数列中所有奇数项符号相同 由题意a5 a9 a5 a9 1 a5 0 a9 0 a7 0 而错解中未判断a7的正负 所以得出错误结果 正解 a5 a9是方程7x2 18x 7 0的两个根 又a7是a5与a9的等比中项 a5 a9 1 a7 1 答案 1 12345 1 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7等于 a 64b 81c 128d 243解析 设等比数列的公比为q a1 a2 3 a2 a3 q a1 a2 6 q 2 又a1 a2 a1 a1q 3 3a1 3 a1 1 a7 26 64 答案 a 12345 2 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于 a 24b 0c 12d 24解析 由x 3x 3 6x 6成等比数列 得 3x 3 2 x 6x 6 解得x 3或x 1 不合题意 舍去 则该等比数列的前三项为 3 6 12 可得第四项为 24 故选a 答案 a 12345 3 在等比数列 an 中 若2a4 a6 a5 则公比q是 解析 方法一 由已知得2a1q3 a1q5 a1q4 即2 q2 q 解得q 1或q 2 方法二 a5 a4q a6 a4q2 由已知条件得2a4 a4q2 a4q 即2 q2 q q 1或q 2 答案 1或2 12345 4 若等比数列的首项为4 公比为2 则数列中第3项与第5项的等比中项为 解析 a3 4 22 16 a5 4 24 64 a3与a5的等