九年级数学上册 第22章 第9课时 二次函数与一元二次方程导学案 （新版）新人教版.doc

二次函数与一元二次方程（1）一、学习目标1二次函数与一元二次方程之间的联系；2掌握二次函数图像与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别；3掌握交点式求二次函数解析式二、知识回顾1已知函数类型，求函数解析式的基本方法是：待定系数法2二次函数的表达式有三种：（1）一般式：y=ax+bx+c（a0）；（2）顶点式：y=a（x-h）+k（a0）；（3）交点式：三、新知讲解1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况（1） 二次函数的图象与x轴的交点情况有三种：有两个交点，有一个交点，没有交点（2） 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点情况一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（即b2-4ac）有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac02.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和x轴交点情况根据顶点坐标和a的符号可以判断二次函数图象与x轴的交点情况.（1） 当顶点在x轴上方，a0时，二次函数图象与x轴没有交点；（2） 当顶点在x轴上方，a0时，二次函数图象与x轴有2个交点；（3） 当顶点在x轴上，无论a取何值（0除外），二次函数图象与x轴有1个交点；（4） 当顶点在x轴下方，a0时，二次函数图象与x轴有2个交点；（5） 当顶点在x轴下方，a0时，二次函数图象与x轴没有交点.四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1探究抛物线与x轴的交点情况【例1】下列关于二次函数y=ax22ax+1（a1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）a没有交点b只有一个交点，且它位于y轴右侧c有两个交点，且它们均位于y轴左侧d有两个交点，且它们均位于y轴右侧总结：二次函数的图象与x轴交点的情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式的符号判定，有两个不同的交点；，有唯一一个交点；，没有交点练1（2015东西湖区校级模拟）若抛物线y=x22x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）am1 bm1 cm1 dm1练2.（2015讷河市校级模拟）下列函数中，其图象与x轴有两个交点的是（ ）ay=8（x+2009）2+2010 by=8（x2009）2+2010cy=8（x2009）22010 dy=8（x+2009）2+20102求抛物线与x轴的交点坐标【例2】抛物线y=2x2+3x1与x轴的交点坐标是_总结：根据抛物线与x轴的交点坐标的特点，令y=0， 即ax+bx+c=0，求该一元二次方程的解即可得到抛物线与x轴的交点坐标练3.已知抛物线的顶点a（1，4），且抛物线经过点b（2，3），求此抛物线与x轴的交点坐标3根据抛物线与x轴两交点求二次函数解析式【例3】（2010秋招远市期末）如图，抛物线与x轴交于点（1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，3），则此抛物线对此函数的表达式为（ ）ay=x2+2x+3 by=x22x3 cy=x22x+3 dy=x2+2x3总结：已知抛物线与x轴的两个交点及另外一点坐标求抛物线解析式时，可以设交点式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，再将另一点坐标代入求出a的值，最后代回原解析式即可.练4.（2015山西模拟）如图，已知二次函数的图象过a、c、b三点，点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（4，0），点c在y轴正半轴上，且ab=oc（1）求点c的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式五、课后小测一、选择题1.（2012山东省滨州）抛物线 与坐标轴的交点个数是（）a3 b2 c1 d02（2015苏州）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（ ）ax1=0，x2=4 bx1=1，x2=5 cx1=1，x2=5 dx1=1，x2=53（2015桐庐县模拟）如图，函数y=x12+c的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则另一交点的横坐标为（）a4 b3 c2 d14（2013开阳县校级模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）a1.6 b3.2 c4.4 d以上都不对二、填空题5（2009延庆县二模）抛物线y=2x25x+3与x轴的交点有_个6（2015大庆模拟）若二次函数y=kx26x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是_7（2011秋武冈市校级月考）抛物线y=x26x16与x轴交点的坐标为_8（2012秋荆州区校级期末）如图所示的抛物线解析式为，与x轴的另一个交点的坐标是_9（2015建邺区二模）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象可知：方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_三、解答题10. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a（1，0），b（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；11（2015山西模拟）如图，已知二次函数的图象过a、c、b三点，点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（4，0），点c在y轴正半轴上，且ab=oc（1）求点c的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式12（2009秋温州期末）已知二次函数y=x22x+c的图象如图所示（1）求c的值和抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标13（2009西城区一模）已知抛物线y=x2+（m+2）x+3m20经过点（1，3），求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标典例探究答案：【例1】【解析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式及顶点坐标可得答案解：当y=0时，ax22ax+1=0，a1=（2a）24a=4a（a1）0，ax22ax+1=0有两个根，函数图象与有两个交点，对称轴，故选：d点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式练1【解析】直接利用抛物线与x轴交点个数与的关系求出即可解：抛物线y=x22x+m与x轴有两个交点，b24ac=44m0，解得：m1故选： b点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点，正确把握的符号是解题关键练2【解析】通过二次函数的图象的开口方向，顶点坐标即可判断其图象与x轴的交点个数解：a、y=8（x+2009）2+2010，顶点在第二象限，开口向上，与x轴无交点；b、y=8（x2009）2+2010，顶点在第一象限，开口向上，与x轴无交点；c、y=8（x2009）22010，顶点在第四象限，开口向下，与x轴无交点；d、y=8（x+2009）2+2010，顶点在第二象限，开口向下，与x轴有两个交点故选：d点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，是基础知识要熟练掌握【例2】【解析】根据抛物线与x轴的交点坐标特点令y=0，求出x的值即可解：x轴上点的纵坐标为0，2x2+3x1=0，解得x1=，x2=1，抛物线y=2x2+3x1与x轴的交点坐标是 ，（1，0）故答案为：，（1，0）点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键练3【解析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，将b坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，即可确定出抛物线与x轴的交点坐标解：根据题意设抛物线顶点形式为y=a（x1）2+4，将b（2，3）代入得：3=a+4，即a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3，令y=0，得到x2+2x+3=0，即（x3）（x+1）=0，解得：x=3或x=1，则抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和（3，0）点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键【例3】【解析】由抛物线与x轴交于点（1，0）和（3，0），设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），又抛物线与y轴交于（0，3），把x=0，y=3代入y=a（x+1）（x3）得：3=a（0+1）（03），即3a=3，解得：a=1，则抛物线的解析式为y=（x+1）（x3）=x22x3故选b练4【解析】（1）根据题目所给的信息可以知道oc=ab=5，点c在y轴上可以写出点c的坐标；（2）二次函数图象经过点a、b、c；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式解：（1）点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（4，0），oc=ab=5，点c的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-4），把a（1，0）、b（4，0）代入函数解析式得出：a=.所以这个二次函数的解析式为：y=（x+1）（x-4）=x2+x+5点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识课后小测答案：一、选择题1. 【解析】抛物线解析式，令x=0，解得：y=4，抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到，即，分解因式得： ，解得： , ，抛物线与x轴的交点分别为（，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3故选：a点评：本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中c的取值2【解析】根据对称轴方程=2，得b=4，解x24x=5即可解：对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，=2，解得：b=4，解方程x24x=5，解得x1=1，x2=5，故选：d点评：本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系3【解析】先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解解：y=x12+c，抛物线的对称轴是直线x=1，函数的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），1=，x=1，另一交点的横坐标为1故选：d点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标4【解析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足23=x1+x2，而x1=1.6，x2=4.4故选：c点评：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题二、填空题5【解析】根据b24ac与零的关系即可判断出二次函数y=2x25x+3的图象与x轴交点的个数解：b24ac=25423=10，二次函数y=x2+1的图象与x轴有两个交点点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断6【解析】根据二次函数与x轴有交点则b24ac0，进而求出k得取值范围即可解：二次函数y=kx26x+3的图象与x轴有交点，b24ac=364k3=3612k0，且k0，解得：k3，且k0，则k的取值范围是k3，且k0，故答案为：k3，且k0点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，得出b24ac的符号与x轴交点个数关系式是解题关键7【解析】由题意令y=0，得方程x26x16=0，求出方程的两根，即为抛物线与x轴的交点，从而求出抛物线与x轴的交点解：令y=0，得方程，x26x16=0，（x+2）（x8）=0，解得x=2或8，抛物线y=x26x16与x轴交点的坐标为：（2，0），（8，0）；故答案为：（2，0），（8，0）点评：此题主要考查抛物线的基本性质，解题的关键是应用因分解法求方程的根，把函数的方程结合起来出题，是一种比较好的题型8【解析】根据抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，代入与x轴的一个交点（3，0），可确定解析式，继而可得出与x轴的另一个交点解：设抛物线解析式为：y=a（x1）2+3，将点（3，0）代入，得：0=4a+3，解得：a=，故抛物线解析式为：y=（x1）2+3令y=0，即（x1）2+3=0，x1=2解得：x1=3，x2=1，即可得与x轴的另一个交点为（1，0）故答案为：y=（x1）2+3，（1，0）点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式，注意掌握抛物线解析式的三种形式，哪一种方便计算选择哪一种9【解析】先由交点式求出二次函数的解析式，再由方程的根的情况得出判别式0，解不等式即可得出k的取值范围解：根据题意得：二次函数的图象与x轴的交点为：（1，0）、（3，0），设二次函数y=a（x1）（x3），把点（2，2）代入得：a=2，二次函数的解析式为：y=2（x1）（x3）即y=2x2+8x6；方程2x2+8x6=k有两个不相等的实数根，2x2+8x6k=0，=824（2）（6k）0，解得：k2；故答案为：k2点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数解析式的求法、不等式的解法；熟练掌握二次函数图象的有关性质，并能进行推理计算是解决问题的关键三、解答题10.【解析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a（1，0），b（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值（2）根据spab=8，求得p的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得p点的坐标解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于a（1，0），b（3，0）两点，方程x2+bx+c=0的两根为x=1或x=3，1+3=b，13=c，b=2，c=3，二次函数解析式是y=x22x3（2）y=x22x3=（x1）24，抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，4）点评：此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题11【解析】（1）根据题目所给的信息可以知道oc=ab=5，点c在y轴上可以写出点c的坐标；（2）二次函数图象经过点a、b、c；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式解：（1）点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（4，0），oc=ab=5，点c的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式