高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 2.4.2 等比数列的性质及应用课件 新人教A版必修5.ppt

2 4 2等比数列的性质及应用 等比数列的常用性质 1 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 特例 若m n 2p m n p n 则am an 2 an am qn m m n n 3 在等比数列 an 中 每隔k项取出一项 取出的项 按原来顺序组成新数列 该数列仍然是等比数列 公比为qk 1 4 数列 an 为等比数列 则数列 an 为不等于0的常数 仍然成等比数列 5 等比数列的单调性当a1 0 q 1或a10 01时 数列 an 为递减数列 当q 1时 数列 an 为常数列 当q 0时 数列 an 为摆动数列 练一练1已知在等比数列 an 中 若a1a9 9 则a4a6 a 3b 3c 9d 9答案 c练一练2已知数列 an 是递增的等比数列 a2 2 a4 8 则公比q 解析 a2 2 a4 8 q2 4 q 2 又数列 an 是递增数列 q 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究一等比数列性质的应用等比数列中的有些计算比较麻烦 但适当地利用等比数列的性质 可以简化计算 典型例题1已知数列 an 为等比数列 1 若an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 25 求a3 a5的值 2 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求数列 an 的通项公式 思路分析 利用等比数列的通项及性质求解 探究一 探究二 探究三 解 1 a2a4 2a3a5 a4a6 25 且数列 an 是等比数列 又an 0 a3 a5 5 探究一 探究二 探究三 变式训练1 已知递增的等比数列 an 中 a2 a8 3 a3 a7 2 则 解析 an 是递增的等比数列 a3a7 a2a8 2 又a2 a8 3 a2 a8是方程x2 3x 2 0的两根 则a2 1 a8 2 q6 2 q3 答案 探究一 探究二 探究三 探究二灵活设项求解等比数列在等比数列中 灵活设项是非常重要的 一般来说 当三个数成等比数列时 可设这三个数分别为a aq aq2或 a aq 此时公比为q 当四个数成等比数列时 可设这四个数分别为a aq aq2 aq3 公比为q 当四个数均为正 负 数时 可设为 aq aq3 公比为q2 探究一 探究二 探究三 典型例题2有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数和第四个数的和是16 中间两个数的和是12 求这四个数 思路分析 根据条件 用两个未知数表示这四个数 探究一 探究二 探究三 所以 当a 4 d 4时 所求四个数为0 4 8 16 当a 9 d 6时 所求四个数为15 9 3 1 故所求四个数为0 4 8 16或15 9 3 1 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 变式训练2 三个数成等比数列 其积为512 若第一个数与第三个数各减去2 则这三个数成等差数列 求这三个数 探究一 探究二 探究三 探究三等差 等比数列的综合问题1 解有关等差 等比数列有关的综合问题时 应注意以下方法与技巧的应用 1 转化思想 将非等差 比 数列转化 构造出新的等差 比 数列 以便于利用其公式和性质解题 2 等差 比 数列公式和性质的灵活应用 3 当题中有多个数列出现时 既要研究单一数列项与项之间的关系 又要关注各数列之间的相互联系 4 注意求通项与求和的相互联系 2 对于存在性问题 在解答时 应先假设结论成立 然后结合已知条件运算 推理 最后根据结果确定结论 探究一 探究二 探究三 典型例题3已知数列 an 的前n项和sn 3n2 5n 数列 bn 中 b1 8 64bn 1 bn 0 问是否存在常数c 使得对任意的正整数n n n an logcbn恒为常数m 若存在 求出常数c和m的值 若不存在 请说明理由 思路分析 先求出an与bn 假设存在c与m 利用n的任意性建立c m的方程 判断解是否存在 探究一 探究二 探究三 解 sn 3n2 5n 当n 2时 an sn sn 1 6n 2 而a1 s1 8适合上式 an 6n 2 bn 是首项为8 公比为8 2的等比数列 bn 8 8 2 n 1 83 2n 假设存在常数c和m 使an logcbn m恒成立 则6n 2 logc83 2n m 即 6 2logc8 n 2 3logc8 m对任意n n 恒成立 故存在常数c 2 使得对任意n n an logcbn恒为常数11 变式训练3 在等差数列 an 中 公差d 0 且a2是a1和a4的等比中项 已知成等比数列 求数列k1 k2 k3 kn的通项kn 解 由题意得 a1a4 即 a1 d 2 a1 a1 3d 又d 0 所以a1 d 又成等比数列 所以该数列的公比为所以 a1 3n 1 又 a1 kn 1 d kna1 所以kn 3n 1 所以数列 kn 的通项为kn 3n 1 探究一 探究二 探究三 12345 1 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 a a1 a3 a9成等比数列b a2 a3 a6成等比数列c a2 a4 a8成等比数列d a3 a6 a9成等比数列解析 根据等比数列的性质 若m n 2k m n k n 则am ak an成等比数列 即a3 a6 a9成等比数列 故选d 答案 d 12345 2 若1 a1 a2 4成等差数列 1 b1 b2 b3 4成等比数列 则的值等于 解析 1 a1 a2 4成等差数列 3 a2 a1 4 1 a2 a1 1 又1 b1 b2 b3 4成等比数列 设其公比为q 则 1 4 4 且b2 1 q2 0 b2 2 答案 a 12345 3 若等比数列 an 满足a2a4 则 解析 数列 an 是等比数列 a1a5 a1a5 a2a4 a2a4 a2a4 2 答案 12345 4 在等比数列 an 中 a1 a2 30 a3 a4 120 则a5 a6