高三数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接证明与间接证明课件 文.ppt

文数课标版 第四节直接证明与间接证明 1 直接证明 教材研读 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 矛盾 因此说明假设错误 从而证明 原命题成立的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 i 反设 假设命题的结论不成立 ii 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 iii 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的必要条件 3 反证法是将条件和结论同时否定 推出矛盾 4 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 1 命题 对任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 间接证明法答案b因为证明过程是 从左往右 即由条件 结论 故选b 2 用分析法证明时出现 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件答案b由题意可知 应用 故 是 的必要条件 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60度 假设正确的是 a 假设三个内角都不大于60度b 假设三个内角都大于60度c 假设三个内角至多有一个大于60度d 假设三个内角至多有两个大于60度答案b根据反证法的定义 假设是对原命题结论的否定 故假设三个内角都大于60度 故选b 4 下列条件 ab 0 ab0 b 0 a0 即a与b同号 故 均能使 2成立 5 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 答案cn cn 1解析由题意知 an bn n cn n 显然 cn随着n的增大而减小 cn cn 1 考点一综合法的应用典例1 2016湖北武汉模拟 已知函数f x x 1 lnx x 1 1 若 0 求f x 的最大值 2 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线x y 1 0垂直 证明 0 解析 1 f x 的定义域为 0 当 0时 f x lnx x 1 则f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 在 0 1 上是增函数 当x 1时 f x 0 f x 在 1 上是减函数 故f x 在x 1处取得最大值 为f 1 0 考点突破 2 证明 由题意可得 f x lnx 1 由题设条件 得f 1 1 即 1 f x x 1 lnx x 1 由 1 知 lnx x 10 且x 1 当00 当x 1时 f x lnx xlnx x 1 lnx x 0 0 综上可知 0 方法技巧用综合法证题是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如判定函数的单调性 奇偶性 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 1 1设f x ax2 bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 f为偶函数 证明由函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 可知f x 1 f x 将x换成x 代入上式可得f f 即f f 由偶函数的定义可知f为偶函数 方法技巧 1 分析法采用逆向思维 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需要用的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 2 应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的 它的常用书面表达形式为 要证 只需要证 或 注意用分析法证明时 一定要严格按照格式书写 2 1已知m 0 a b r 求证 证明 m 0 1 m 0 要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 考点三反证法的应用典例3设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 解析 1 设 an 的前n项和为sn 当q 1时 sn a1 a1 a1 na1 当q 1时 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qsn a1q a1q2 a1qn 得 1 q sn a1 a1qn sn sn 易错警示用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从结论的反面出发进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知条件矛盾 有的与假设矛盾 有的与基本事实矛盾等 且推导出的矛盾必须是明显的 3 1已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 解析 1 n 1时 a1 s1 2a1 2 则a1 1 又an sn 2 所以an 1 sn 1 2 两式相减得an 1 an 所以 an 是首项为1 公比为的等比数列 所以an 2 证明 假设存在三项按原来顺序成等差