八年级数学下册 17.1 一元二次方程导学案 （新版）沪科版.doc

一元二次方程1一元二次方程(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程(2)一元二次方程必须满足的三个条件：是整式方程，等号两边都是整式，即分母中不含未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.确定一个方程是不是一元二次方程，应把握以上三个条件，只有同时具备这三个条件的方程才是一元二次方程【例1】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是_k2x5k60；x2x0；3x220；3x2220；(3x)21；(2x1)2(x1)(4x3)解析：判断一个方程是否为一元二次方程的方法：首先看方程是否为整式方程；其次若是整式方程，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，若同时满足：只含一个未知数且未知数的最高次数是2，则是一元二次方程若不具备，则不是一元二次方程答案：2一元二次方程的形式(1)一元二次方程的一般形式我们把ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式(又叫做标准形式)，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数例如，在一元二次方程2x213x110中，2x2是二次项，13x是一次项，11是常数项，二次项系数和一次项系数分别为2和13.(2)一元二次方程的特殊形式在一元二次方程ax2bxc0中，由于ax2是二次项，所以a0，但是b，c均可为零一元二次方程的特殊形式有：当a0，b0时，则ax2c0；当a0，c0时，则ax2bx0；当a0，bc0时，则ax20.(1)任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式(2)二次项系数、一次项系数和常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式(3)二次项系数、一次项系数、常数项除了数值外，还必须带符号【例21】把方程3x(x1)2(x2)8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式为ax2bxc0，其中a0，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项解：去括号，得3x23x2x48，整理，得3x25x120，二次项系数是3，一次项系数是5，常数项是12.点拨：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，把非一般形式的一元二次方程化简，然后按未知数x的降幂形式排列，化为一元二次方程的一般形式，指出各项系数时，注意各项系数包括其前面的符号【例22】关于x的方程(m1)x2(m1)x3m20.(1)当m_时，为一元一次方程；(2)当m_时，为一元二次方程解析：一元一次方程的一般形式为axb0(a0)，方程的最高次数是1一元二次方程的一般形式为ax2bxc0(a0)，方程的最高次数是2因此只要方程(m1)x2(m1)x3m20中的二次项系数为0，而一次项系数不为0，方程即为一元一次方程；方程的二次项系数不为0，即为一元二次方程所以当m10且m10，即m1时，方程为一元一次方程；当m10，即m1时，方程为一元二次方程答案：(1)1(2)1点拨：掌握一元一次方程、一元二次方程的一般形式及所满足的条件是判别一元一次方程和一元二次方程的关键对于一元一次方程来说，常数项可以是任意数，而一元二次方程的一次项系数和常数项都可以是任意数3一元二次方程的根(1)定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根例如：x2，x3都是方程x25x60的根(2)方程根的定义在解题时的应用判断一个值是否是一元二次方程的根求一元二次方程中字母系数的值判断某些未知数的值是否是方程的根，主要是利用其定义把所给的值代入原方程的左右两边，看是否使其左右两边相等若相等，则是原方程的根；若不相等，则不是原方程的根【例31】判断x0，x1，x是不是方程2x2x3的根分析：解：把x0代入方程2x2x3的左右两边，得左边20200，右边3，因左边右边，所以x0不是2x2x3的根；把x1代入方程2x2x3的左右两边，得左边2(1)2(1)3右边，所以x1是2x2x3的根；把x代入方程2x2x3的左右两边，得左边2()23右边，所以x是2x2x3的根【例32】若2是方程x2c0的一个根，则c的值是()a4 b4 c2 d2解析：根据方程的根的定义，把x2代入原方程可得4c0，解得c4.答案：a4根据实际情境列出一元二次方程(1)面积问题根据图形的面积列方程的等量关系一般为图形的面积公式若是矩形的面积问题，只需用未知数表示出矩形的长和宽，即可列出方程；若是直角三角形的面积问题，只需用未知数表示出三角形的两条直角边，即可列出方程等(2)数字问题解决有关数字的问题，关键是会表示所涉及的数字常用的数字的表示方法：三个连续整数，设中间的一个为x，则前后两个分别为x1，x1；三个连续偶数(或奇数)，设中间的一个为x，则前后两个分别为x2，x2；两位数十位上的数字10个位上的数字；三位数百位上的数字100十位上的数字10个位上的数字【例4】根据题意列出方程：(1)三个连续奇数的平方和是251，求这三个数(2)一个长方形花坛，长20 m，宽8 m，在它的四周有等宽的鹅卵石路，形成一个大长方形，其面积是花坛面积的1.8倍，求路的宽度分析：(1)(第一个数)2(第二个数)2(第三个数)2251设中间一个数为x(2)大长方形的面积花坛面积1.8设路宽为x解：(1)设中间的奇数为x，则另外两个奇数分别是x2，x2，根据题意，得(x2)2x2(x2)2251.(2)设路宽为x m，根据题意，得(202x)(82x)2081.8.5如何讨论含参数的方程是一元二次方程或一元一次方程(1)讨论依据：一元二次方程的一般形式ax2bxc0中，二次项系数a0，且未知数x的最高次数必须是2，这是两个限定条件，二者缺一不可(2)两种类型“a0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分(因为a0，方程中ax2项不存在)，当a0时，方程ax2bxc0是一元二次方程当a0，b0时，方程ax2bxc0就转化为一元一次方程了对带字母系数的方程，若方程中含有带字母系数的x2项，且出现“关于x的方程”这样的语句，就要对方程中的字母