高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修11.ppt

2 2 2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质 我们知道 电能是现代生活不可缺少的能源 目前我国主要靠火力发电 而火力发电主要是在火力发电厂中进行 火力发电厂简称 火电厂 其形状就像照片中 粗烟囱 那么这些 粗烟囱 是怎样建成的呢 冷却通风塔 如果你是设计师你将如何设计 1 会熟练画出一些简单双曲线的图象 并认真观察其图象有何几何特征 重点 2 会类比椭圆几何性质的研究方法 自己尝试获取双曲线的简单几何性质 并能初步应用 难点 探究点双曲线的简单几何性质 回忆一下双曲线的标准方程 如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线 那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢 1 范围 x y x y x y x y 2 对称性 以 x代x方程不变 故图象关于轴对称 以 y代y方程不变 故图象关于轴对称 以 x代x且以 y代y方程不变 故图象关于对称 y x 原点 y的范围是什么 3 顶点 1 令y 0 得x a 则双曲线与x轴的两个交点为a1 a 0 a2 a 0 我们把这两个点叫双曲线的顶点 令x 0 得y2 b2 这个方程没有实数根 说明双曲线与y轴没有交点 但我们也把b1 0 b b2 0 b 画在y轴上 2 如图 线段a1a2叫做双曲线的实轴 它的长为2a a叫做双曲线的半实轴长 线段b1b2叫做双曲线的虚轴 它的长为2b b叫做双曲线的半虚轴长 f2 f1 a b 4 渐近线 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时 与直线逐渐靠拢 方案2 考查同横坐标的两点间的距离 方案1 考查点到直线的距离 y b2 a1 a2 b1 x o b a m n q 由双曲线的对称性知 我们只需证明第一象限的部分即可 x m y o q n x y x y 注 渐近线是双曲线特有的几何性质 它决定着双曲线张口的开阔与否 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 5 离心率 思考 椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 因此 e越大 渐近线斜率越大 倾斜角越大 张角越大 张口越开阔 e越小 渐近线斜率越小 倾斜角越小 张角越小 张口越扁狭 所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量 或 或 关于坐标轴和原点都对称 性质 双曲线 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 图象 总结提升 双曲线的简单几何性质 x y x y 例 求双曲线9y2 16x2 144的半实轴长和半虚轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 解 把方程9y2 16x2 144化为标准方程 由此可知 半实轴长a 4 半虚轴长b 3 焦点坐标是 0 5 0 5 变式练习 a 方法规律 双曲线的焦点到渐近线的距离为半虚轴长b 1 2014 广东高考 若实数k满足0 k 5 则曲线与曲线的 a 实半轴长相等b 虚半轴长相等c 离心率相等d 焦距相等 d a 3 与双曲线有共同的渐近线 且过点 2 2 的双曲线的标准方程是 4 求中心在原点 对称轴为坐标轴且经过点p 1 3 离心率为的双曲线的标准方程 解析 因为离心率为 所以e2即a b 所以双曲线为等轴双曲线 故设所求双曲线的标准方程为x2 y2 0 又点p 1 3 在双曲线上 则 1 9 8 所以所求双曲线的标准方程为 或 或 关于坐标轴和原点都对称 性质 双曲线 范