高中数学 2.1.1.2映射与函数教学设计 新人教B版必修1.doc

2.1.1.2映射与函数教学分析课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程三维目标1了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射2感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的认识重点难点教学重点：映射的概念，映射与函数关系教学难点：理解映射的概念课时安排1课时导入新课思路1.复习初中常见的对应关系1对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应2对于坐标平面内任何一个点a，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应3对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应4某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的坐位与它对应5函数的概念我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)思路2.前面学习了函数的概念是：一般地，设a，b是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合a中的每个元素x，在集合b中都有唯一的元素y和它对应(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应(2)班级里的每一位同学在教室内都有唯一的坐位与之对应(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射引出课题推进新课给出以下对应关系：这三个对应关系有什么共同特点？阅读教材例4、例5、例6，请给出映射的定义“有一个且仅有一个”是什么意思？函数与映射有什么关系？图中第1个映射与其他映射有何特点？讨论结果：集合a、b均为非空集合，并且集合a中的元素在集合b中都有唯一的元素与之对应一般地，设a，b是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对a中的任意一个元素x，在b中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合a到集合b的映射这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)于是yf(x)，x称作y的原象映射f也可记为：f：ab，xf(x)其中a叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(a)包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一函数是特殊的映射，映射是函数的推广b中任一元素在a中有唯一的原象，这种映射称为一一映射思路1例1在图(1)(2)(3)(4)中，用箭头所标明的a中元素与b中元素的对应法则，试判断由a到b是不是映射？是不是函数关系？解：在图(1)中，集合a中任一个数，通过“开平方”运算，在b中有两个数与之对应，这种对应法则不符合上述的映射定义，所以这种由a到b的对应关系不是映射，当然也不是函数关系在图(2)中，元素6在b中没有象，所以这种由a到b的对应关系不是映射，当然也不是函数关系在图(3)中，对a中任一个数，通过“2倍”的运算，在b中有且只有一个数与之对应，所以这种由a到b的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射这两个数集之间的对应关系是函数关系在图(4)中的平方运算法则，同样是映射，因为对a中每一个数，通过平方运算，在b中都有唯一的一个数与之对应，但不是一一映射数集a到b之间的对应关系是函数关系点评：从集合a到集合b的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素.变式训练1图(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的a中元素与b中元素的对应法则，是不是映射？答案：(1)不是；(2)是；(3)是；(4)是2在图中的映射中，a中元素60的对应的元素是什么？在a中的什么元素与b中元素对应？答案：a中元素60的对应的元素是，在a中的元素30与b中元素对应思路2例1下列对应是不是从集合a到集合b的映射，为什么？(1)ar，bxr|x0，对应法则是“求平方”；(2)ar，bxr|x0，对应法则是“求平方”；(3)axr|x0，br，对应法则是“求平方根”；(4)a平面内的圆，b平面内的矩形，对应法则是“作圆的内接矩形”活动：学生回顾映射的概念，教师适时点拨或提示判断一个对应是否是映射，关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应，即集合a中的任意一个元素，在集合b中都有唯一确定的元素与之对应解：(1)是映射，因为a中的任何一个元素，在b中都能找到唯一的元素与之对应(2)不是从集合a到集合b的映射，因为a中的元素0，在集合b中没有对应的元素(3)不是从集合a到集合b的映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合a中的任何元素，在集合b中都有两个元素与之对应(4)不是从集合a到集合b的映射因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合a中任何一个元素在集合b中有无穷多个元素与之对应点评：本题主要考查映射的概念给定两集合a、b及对应法则f，判断是否是从集合a到集合b的映射，主要利用映射的定义用通俗的语言讲：ab的对应有“多对一”，“一对一”，“一对多”，前两种对应是a到b的映射，而后一种不是a到b的映射.变式训练1设集合aa，b，c，集合br，以下对应关系中，一定能建立集合a到集合b的映射的是()a对集合a中的数开平方b对集合a中的数取倒数c对集合a中的数取算术平方根d对集合a中的数立方解析：当a0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则a、c错；当a0时，对a取倒数无意义，则b错；由于对任何实数都能立方，并且其立方仅有一个，所以对集合a中的数立方能建立映射，故选d.答案：d2设f：ab是a到b的一个映射，其中ab(x，y)|x，yr，f：(x，y)(xy，xy)，求：(1)a中元素(1,2)在b中对应的元素；(2)在a中什么元素与b中元素(1,2)对应？分析：这是一个映射的问题，由于a中元素(x，y)对应b中元素为(xy，xy)，确定了对应法则，转化为解方程组解：(1)a中元素(1,2)在b中对应的元素为(12，12)，即(3,1)(2)设a中元素(x，y)与b中元素(1,2)对应，则解得所以a中元素(，)与b中元素(1,2)对应.2设映射f：xx2是实数集rm到实数集rn的映射，若对于实数pn，在m中不存在原象，则实数p的取值范围是()a(0，) b0，) c(，0) d(，0活动：让学生思考：若对于实数pn，在m中不存在原象，与函数f(x)x2有什么关系？若对于实数pn，在m中不存在原象是指实数p表示函数f(x)x2值域中的元素，转化为求函数f(x)x2，xr的值域集合m是函数f(x)x2的定义域，集合n是函数f(x)x2的值域解析：由于集合m，n都是数集，则映射f：xx2就是函数f(x)x2，其定义域是mr，则有值域qy|y0 nr.对于实数pn，在m中不存在原象，则实数p的取值范围是nqrqy|y0，即p的取值范围是(0，)答案：a点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域，以及综合应用知识解决问题的能力解决本题的关键是转化思想的应用把映射问题转化为函数的值域问题，进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.变式训练设f，g都是由a到a的映射，其对应法则如下表(从上到下)：表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与fg(1)相同的是()a.gf(1)bgf(2)c.gf(3) dgf(4)解析：f(a)表示在对应法则f下a对应的象，g(a)表示在对应法则g下a对应的象由表1和表2，得fg(1)f(4)1，gf(1)g(3)1，gf(2)g(4)2，gf(3)g(2)3，gf(4)g(1)4，则有fg(1)gf(1)1.答案：a1下列对应是从集合s到t的映射的是()asn，t1,1，对应法则是(1)n，nsbs0,1,4,9，t3，2，1,0,1,2,3，对应法则是开平方cs0,1,2,5，t1，对应法则是取倒数dsx|xr，ty|yr，对应法则是xy解析：判断映射方法简单地说应考虑a中的元素是否都可以受f作用，作用的结果是否一定在b中，作用的结果是否唯一这三个方面很明显a符合定义；b是一对多的对应；c命题中的元素0没有象；d命题集合s中的元素1也无象答案：a2已知集合mx|0x6，py|0y3，则下列对应关系中不能看作从m到p的映射的是()af：xyx bf：xyxcf：xyx df：xyx解析：选项c中，集合m中元素6没有象，不是映射答案：c3已知集合an，ba|a2n1，nz，映射f：ab，使a中任一元素a与b中元素2a1对应，则与b中元素17对应的a中元素是()a3 b5 c17 d9解析：利用对应法则转化为解方程由题意得2a117，解得a9.答案：d4若映射f：ab的象的集合是y，原象的集合是x，则x与a的关系是_；y与b的关系是_解析：根据映射的定义，可知集合a中的元素必有象且唯一；集合b中的元素在集合a中不一定有原象故象的集合是b的子集所以xa，y b.答案：xa y b5已知集合ma，b，c，d，px，y，z，则从m到p能建立不同映射的个数是_解析：集合m中有4个元素，集合p中有3个元素，则从m到p能建立3481个不同的映射答案：816下列对应哪个是集合m到集合n的映射？哪个不是映射？为什么？(1)设m矩形，n实数，对应法则f为矩形到它的面积的对应(2)设m实数，n正实数，对应法则f为x.(3)设mx|0x100，nx|0x100，对应法则f为开方再乘10.解：(1)是m到n的映射，因为它是一对一的对应(2)不是映射，因为当x0时，集合m中没有元素与之对应(3)是映射，因为它是一对一的对应7设集合a和b都是自然数集，映射f：ab把a中的元素n映射到b中的元素2nn，则在映射f下，a中的元素_对应b中的元素3.()a1 b3 c9 d11解析：对应法则为f：n2nn，根据选项验证2nn3，可得n1.答案：a问题：集合m中有m个元素，集合n中有n个元素，则从m到n能建立多少个不同的映射？探究：当m1，n1时，从m到n能建立111个不同的映射；当m2，n1时，从m到n能建立112个不同的映射；当m3，n1时，从m到n能建立113个不同的映射；当m2，n2时，从m到n能建立422个不同的映射；当m2，n3时，从m到n能建立932个不同的映射集合m中有m个元素，集合n中有n个元素，则从m到n能建立nm个不同的映射本节课学习了：(1)映射是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”(2)映射由三个部分组成：集合a，集合b及对应法则f，称为映射的三要素(3)映射中集合a，b中的元素可以为任意的课本本节练习b3、4、5.本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习本节重点设计了映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向备选例题例1区间0，m在映射f：x2xm所得的象集区间为a，b，若区间a，b的长度比区间0，m的长度大5，则m等于()a5 b10 c2.5 d1解析：函数f(x)2xm在区间0，m上的值域是m,3m，则有m,3ma，b，则am，b3m，又区间a，b的长度比区间0，m的长度大5，则有ba(m0)5，即bam5，所以3mmm5，解得m5.答案：a例2已知集合a1,2,3，k，b4,7，a4，a23a，且an，kn，xa，yb，映射f：ab，使b中元素y3x1和a中元素x对应，求a及k的值分析：先从集合a和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性可以分析出此映射必为一一映射，再由310，求得a值，进而求得k值解：b中元素y3x1和a中元素x对应，a中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a410或a23a10.an，由a23a10，得a2.k的象是a4，3k116，得k5.a2，k5.例3a(x，y)|xy3，xn，yn，b0,1,2，f：(x，y)xy，这个对应是否为映射？是否为函数？说明理由解：是映射，不是函数由题意得a(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，显然对于a中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在b中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合a不是数集而是点集，所以不是函数例4下列哪些对应是从集合a到集合b的映射？(1)ap|p是数轴上的点，br，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)ap|p是平面直角坐标系中的点，b(x，y)|xr，yr，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)