高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（1）课件 新人教A版必修5.ppt

2 1数列的概念与简单表示法 1 1 2 3 1 数列 1 定义 按照一定顺序排列的一列数叫做数列 2 项 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 数列中的每一项都和它的序号有关 排在第一位的数称为这个数列的第1项 通常也叫做首项 排在第二位的数称为这个数列的第2项 排在第n位的数称为这个数列的第n项 3 表示 数列的一般形式可以写成 a1 a2 an 简记为 an an表示数列中的第n个数 名师点拨数列的特征 1 每一项都是数 2 数列中的数有顺序 同一组数可组成多个不同的数列 1 2 3 2 数列的分类 1 按数列的项数是否有限 分为有穷数列和无穷数列 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列 2 按项的变化趋势分类 1 2 3 练一练1下列叙述正确的是 b 数列中的数由它的位置序号唯一确定c 数列1 3 5 7可表示为 1 3 5 7 d 同一个数在数列中不可能重复出现解析 递增数列指的是从第2项起 每一项都大于它的前一项 a错误 数列1 3 5 7与由实数1 3 5 7组成的集合 1 3 5 7 是两个不同的概念 c错误 同一个数在数列中可能重复出现 如2 2 2 表示由实数2构成的常数列 d错误 对于给定的数列 数列中的数由它的位置序号唯一确定 b正确 答案 b 1 2 3 1 2 3 3 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 练一练2已知数列 an 的通项公式为an n n 1 则a3 30是该数列的第项 解析 an n n 1 a3 3 3 1 6 令an n n 1 30 解得n 6或n 5 舍去 答案 66 1 2 3 名师点拨 1 已知通项公式an f n 那么只需依次用1 2 3 代替公式中的n 就可以求出这个数列的各项 2 一个数列的通项公式可以有不同的形式 如an 1 n可以写成an 1 n 2 还可以写成这些通项公式形式上虽然不同 但都表示同一数列 3 数列的通项公式也可用一个分段函数表示 例如 数列1 0 1 0 的通项公式可以表示为 4 数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式 5 并不是所有的数列都有通项公式 就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一数列的概念及分类对数列概念的理解 1 有序性 如1 2 3与3 2 1是不同的数列 3 an 与an是两个不同的概念 an 表示数列a1 a2 an 而an只表示数列 an 的第n项 4 数列与数集是两个不同的概念 它们的主要区别在于 集合中的元素具有无序性和互异性 数列中的项是有序的且可以相同 即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的数列 另一方面 同一个数在数列中可以重复出现 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1已知下列数列 1 0 0 0 0 0 0 2 0 1 2 3 4 5 4 1 0 2 0 22 0 23 其中 是有穷数列 是无穷数列 是递增数列 是递减数列 是常数列 是摆动数列 填序号 思路分析 观察数列的项的变化趋势与规律 由数列的分类来判断 探究一 探究二 探究三 探究四 解析 1 是常数列且是有穷数列 2 是无穷摆动数列 4 是无穷递减数列 5 是无穷摆动数列 答案 1 2 3 4 5 3 4 1 2 5 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1 下列说法正确的是 填写序号 0 1 2 3 4 5 是有穷数列 按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列 2 1 1 3 2 4 3是一个项数为5的数列 数列1 2 3 4 2n是无穷数列 解析 紧扣数列的有关概念 验证每一个说法是否符合条件 0 1 2 3 4 5 是集合 而不是数列 故 错误 按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列 故 正确 同一个数在数列中可以重复出现 故此数列共有7项 故 错误 数列1 2 3 4 2n 共有2n项 是有穷数列 故 错误 答案 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二根据数列的前几项写出通项公式1 数列的通项公式表示的是项与项数之间的关系 2 根据数列的前几项写通项公式 体现了由特殊到一般的规律 解题时 一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系 具体思路为 1 先统一项的结构 如都化成分数 根式等 2 分析这一结构中变化的部分与不变的部分 探索变化部分的规律与对应序号间的关系 3 对于符号交替出现的情况 可先观察其绝对值 再用 1 k处理符号 4 对于周期出现的数列 考虑拆成几个简单数列和的形式 或者利用周期函数的知识解答 探究一 探究二 探究三 探究四 3 常见数列的通项公式 1 数列 1 1 1 1 的通项公式是an 1 n 数列1 1 1 1 的通项公式是an 1 n 1或 1 n 1 2 数列1 2 3 4 的通项公式是an n 3 数列1 3 5 7 的通项公式是an 2n 1 4 数列2 4 6 8 的通项公式是an 2n 5 数列1 2 4 8 的通项公式是an 2n 1 6 数列1 4 9 16 的通项公式是an n2 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析 经过观察 分析寻找每一项与其项数的统一规律 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 数列的项有的是分数 有的是整数 可将各项都统一成分数再观察 所以 它的一个通项公式为 2 数列各项的绝对值分别为1 3 5 7 9 是连续的正奇数 其通项公式为2n 1 考虑 1 n 1具有转换符号的作用 所以数列的一个通项公式为an 1 n 1 2n 1 3 各项加1后 分别变为10 100 1000 10000 此数列的通项公式为10n 可得原数列的一个通项公式为an 10n 1 探究一 探究二 探究三 探究四 4 数列中每一项均由三部分组成 分母是从1开始的奇数列 其通项公式为2n 1 分子的前一部分是从2开始的自然数的平方 其通项公式为 n 1 2 分子的后一部分是减去一个自然数 其通项公式为n 综合得原数列的一个通项公式为 5 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数 且奇数项为负 偶数项为正 所以它的一个通项公式是 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结此类问题主要靠观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等方法 具体方法为 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 4 各项的符号特征和绝对值特征 5 化异为同 对于分式 还可以考虑对分子 分母各个击破 或寻找分子 分母之间的关系 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三数列通项公式的应用1 数列是特殊的函数 特殊性表现在它的定义域为正整数集n 或它的有限子集 当自变量n从小到大依次取值时 对应的函数值就构成数列 因此数列的通项公式就是相应函数的解析式 即an f n 2 判断给定的项是否是数列中的项 实质就是一个解方程的过程 若解得的n是正整数 则该项是此数列中的项 否则 就不是该数列中的项 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3已知数列 1 求这个数列的第10项 2 是不是该数列中的项 为什么 3 求证 数列中的各项都在区间 0 1 内 思路分析 对于 1 2 将n代入或列方程求解 对于 3 将通项化简 根据n 1求出项的取值范围 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 12345 1 下列叙述正确的是 a 数列1 3 5 7与7 5 3 1是相同的数列b 数列0 1 2 3 可以表示为 n c 数列0 1 0 1 是常数列d 数列 2n 是递增数列解析 数列中的项是有序的 故a错 b中数列可以表示为 n 1 c中数列为摆动数列 故选d 答案 d 12345 12345 3 已知数列 an 的通项公式为an log3 2n 1 则a3 解析 an log3 2n 1 a3 log3 23 1 log39 2 答案 2