高中数学 2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案 新人教A版必修1.doc

第2课时指数函数及其性质的应用学习目标1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题知识链接1函数yax(a0，且a1)恒过点(0,1)，当a1时，单调递增，当0a1时，单调递减2复合函数yf(g(x)的单调性：当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时，函数yf(g(x)单调递增，当yf(x)与ug(x)的单调性相反时，yf(g(x)单调递减，简称为同增异减预习导引1函数yax与yax(a0，且a1)的图象关于y轴对称2形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反3形如ykax(kr，且k0，a0，且a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型4设原有量为n，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yn(1p)x(xn)要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：(1)1.9与1.93；(2)0.72与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y1.9x在r上单调递增，而3，所以1.91.93.(2)因为函数y0.7x在r上单调递减，而20.267 90.3，所以0.720.70.3.(3)因为y0.6x在r上单调递减，所以0.60.40.60.6；又在y轴右侧，函数y0.6x的图象在y0.4x的图象的上方，所以0.60.60.40.6，所以0.60.40.40.6.规律方法1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断2对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较跟踪演练1已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是()aabc bbacccba dcab答案d解析先由函数y0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小要点二指数型函数的单调性例2判断f(x)x22x的单调性，并求其值域解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，y在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，0u13，原函数的值域为(0,3规律方法1.关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性跟踪演练2求函数y2的单调区间解函数y2的定义域是r.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2在1，)上是减函数综上，函数y2的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1要点三指数函数的综合应用例3已知函数f(x).(1)证明f(x)为奇函数(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明(3)求f(x)的值域(1)证明由题知f(x)的定义域为r，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)解f(x)在定义域上是增函数证明如下：任取x1，x2r，且x1x2， f(x2)f(x1)(1)(1).x1x2，330,310,310，f(x2)f(x1)，f(x)为r上的增函数(3)解f(x)1，3x03x110220，111，即f(x)的值域为(1,1)规律方法指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可跟踪演练3设a0，f(x)是r上的偶函数(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，)上是增函数(1)解依题意，对一切xr，有f(x)f(x)，即aex，0对一切xr成立由此得到a0，即a21.又a0，a1.(2)证明设0x1x2，则f(x1)f(x2)()().0x1x2，0.又10，0，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x)2.即f(x)在(0，)上是增函数.1函数y1x的单调递增区间为()a(，) b(0，)c(1，) d(0,1)答案a解析定义域为r.设u1x，yu.u1x在r上为减函数又yu在(，)为减函数，y1x在(，)是增函数，选a.2若2a132a，则实数a的取值范围是()a(1，) b.c(，1) d.答案b解析原式等价于2a132a，解得a.3设y140.9，y280.48，y31.5，则()ay3y1y2 by2y1y3cy1y2y3 dy1y3y2答案d解析40.921.8,80.4821.44，()1.521.5，根据y2x在r上是增函数，所以21.821.521.44，即y1y3y2，故选d.4某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成_个答案512解析3 h920 min，即经过9次分裂，可分裂为29512个5已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.答案解析函数f(x)为奇函数，f(0)a0.a.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2指数函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0a1时，axayxy.一、基础达标1下列判断正确的是()a2.52.52.53 b0.820.83c2 d0.90.30.90.5答案d解析y0.9x是减函数，且0.50.3，0.90.30.90.5.2若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域为r，则()af(x)与g(x)均为偶函数bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数c. f(x)与g(x)均为奇函数df(x)为奇函数，g(x)为偶函数答案b解析f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数，g(x)3x3xg(x)，g(x)为奇函数3已知f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是()aa0 ba1 ca1 d0a1答案d解析23，f(2)f(3)，又f(x)axx，23，1，0a1.4若定义运算f(a*b)则函数f(3x*3x)的值域是()a(0,1 b1，)c(0，) d(，)答案a解析由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y3x与y3xx的图象，由图象很容易看出函数f(3x*3x)的值域是(0,15若函数f(x)则不等式f(x)的解集为_答案x|0x1解析(1)当x0时，由f(x)得()x，0x1.(2)当x0时，不等式明显不成立，综上可知不等式f(x)的解集是x|0x16用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗_次答案4解析设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为yx.由题意，x，4x100,2x10，x4，即至少漂洗4次7已知函数f(x)1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在(，0)上为减函数(1)解f(x)1，2x10，x0. 函数f(x)的定义域为x|xr，且x0(2)证明任意设x1，x2(，0)且x1x2.f(x1)f(x2).x1，x2(，0)且x1x2，2x22x1且2x11,2x21.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上为减函数二、能力提升8若函数f(x)是r上的增函数，则实数a的取值范围为()a(1，) b(1,8) c(4,8) d4,8)答案 d解析由题可知，f(x)在r上是增函数，所以解得4a8，故选d.9已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)12x，则不等式f(x)的解集是_答案(，1)解析当x0时，x0，f(x)12xf(x)，则f(x)2x1.当x0时，f(0)0，由f(x)，解得x1.10若函数f(x) 的定义域为r，则实数a的取值范围是_答案1,0解析依题意，210对xr恒成立，即x22axa0恒成立，4a24a0，1a0.11一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/ml，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)解1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(150%) mg/ml，x小时后其酒精含量为0.3(150%)xmg/ml，由题意知0.3(150%)x0.08，x.采用估算法，x1时，1.x2时，2.由于x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶三、探究与创新12已知函数f(x).(1)若a1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3(x2)27，由于g(x)在(2，)上递减，yx在r上是减函数，f(x)在(2，)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(2，)(2)令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1；因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值